$f$ Es derivable y encontrar $f'(0)$

Question

Estoy atascado solucionar el siguiente problema:

---

Problema: Demostrar que existe una única función de $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal forma que: $$2(f(x))^3 - 3(f(x))^2 + 6f(x) = x \quad \forall x \in \mathbb{R}$$ También demuestran $f$ es derivable en a $\mathbb{R}$ y calcular el $f'(0)$.

---

He sido capaz de demostrar la existencia y unicidad (ver abajo), pero no sé cómo demostrar a $f$ es derivable o calcular el $f'(0)$.

¿Cómo puedo demostrarlo?

---

La prueba de la existencia y unicidad:

Deje $a \in \mathbb{R}$. La ecuación

$$2x^3 - 3x^2 + 6x = a \qquad (\ast)$$

tiene al menos una solución, ya que $p(x) = 2x^3 - 3x^2 + 6x$ es un extraño-grado del polinomio.

Supongamos que hay dos soluciones diferentes a$x_1, x_2$$(\ast)$. Entonces, por el teorema de Rolle, existe $c \in (x_1, x_2)$ tal forma que:

$$p'(c) = 6x^2 - 6x + 6 = 0$$

Pero $\Delta_{p'} = 6^2 - 4 \cdot 6^2 < 0$, lo $p'(c) = 0$ no tiene soluciones reales, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, no existe una solución única para $(\ast)$.

Finalmente, podemos definir a la $f(a) = x$ donde $x$ es la solución a $(\ast)$.

Answer 1

Set $p(f)=2f^3-3f^2+6f$ desde $p'(f)>0$, luego por el teorema de la función Inversa $p$ es invertible y $p^{-1}$ es diferenciable y tenemos:
$$f(x)=p^{-1} (x)$$
Para calcular el $f'$, que se derivan de ambos lados de $2(f(x))^3 - 3(f(x))^2 + 6f(x) = x$, entonces podemos lograr esta ecuación:
$$f'(x)=\frac{1}{6(f(x)^2 - f(x)+1)}$$ Si $z$ es la verdadera raíz de la $p(f)=0$ $f'(0)=\frac{1}{6(z^2-z+1)}$ y debido a $z=0$$f'(0)=\frac{1}{6}$.

Generalización:
Si $g(f(x))$ $h(x)$ son funciones reales tales que a $g'(f(x))>0$ $ h'(x)>0 \quad \forall x \in \mathbb R$ ahora si tenemos $g(f(x))=h(x)$ $f(x)$ es diferenciable bien definida la función.

Answer 2

La singularidad proviene de, para cualquier$x$,

$$2f^3-3f^2+6f=2g^3-3g^2+6g,$ $ o$$(f-g)\left(2(f^2+fg+g^2)-3(f+g)+6\right)=0.$ $

Al resolver$2f^2+(2g-3)f+2g^2-3g+6$ para$f$, el discriminante es$$(2g-3)^2-4(2g^2-3g+6)=-4g^2-15,$ $ para que no haya otra solución real que$f=g$.

---

Para$x=0$,$2f^3-3f^2+6f=f(2f^2-3f+6)=0$ tiene la única solución real$f=0$.

Entonces y $f'\left(6f^2-6f+6\right)=1$

Como$f'(0)=\dfrac16.$ no tiene raíces reales, el derivado siempre se define.