Regularidad de una base sobre un anillo local

Question

El siguiente Teorema (Thm. 19.9 en Matsumura, CRT) será necesario para la comprensión de mi pregunta:

Teorema: Vamos a $A$ ser un Noetherian anillo local y $I$ una correcta ideal de $A$$\operatorname{projdim} I < \infty$. A continuación, $I$ es generado por una $A$-secuencia $\Leftrightarrow$ $I/I^2$ es un módulo más de $A/I$.

Mi pregunta ahora. Deje $A,I$ satisface la hipótesis del teorema anterior y deje $x_1,\dots,x_n \in I$ ser tal que sus imágenes en $I/I^2$ formulario$A/I$ -. Entonces por el teorema $I=(y_1,\dots,y_n)$ donde $y_1,\dots,y_n$ $A$- secuencia. Ahora podemos escribir $x_i = \sum a_{ij} y_j$ y la matriz $(a_{ij})$ es invertible.

Pregunta: ¿por Qué el invertibility de la matriz $(a_{ij})$ implica que $x_1,\dots,x_n$ $A$- secuencia regular?

Esta afirmación es hecha en Matsumura, CRT, p. 161.

Answer 1

Sólo necesitamos mostrar $x_1, \dots x_n$ es cuasi-regular.

El recuerdo de la página 125 de Matsumura que esto es así, si el mapa de $\phi: A/I[X_1, \dots X_n] \to gr_I(A)$ que toma una forma homogénea $F$ grado $v$ a la imagen de $F(x_1, \dots, x_n)$ $I^v/I^{v+1}$ es inyectiva.

Deje $\psi: A[X_1, \dots X_n] \to A[X_1, \dots X_n]$ ser el mapa de la libre $A$-módulos que se envía un formulario de $F(X_1, \dots X_N)$$F(\Sigma a_{1j}X_j, \dots, \Sigma a_{nj}X_j)$. Observe que $\psi$ es invertible, si $(b_{ij})$ es la inversa de a $(a_{ij})$, la inversa de a $\psi$ es mediante la remisión de una forma homogénea $F(X_1, \dots, X_n)$$F(\Sigma b_{1j}X_j, \dots, \Sigma b_{nj}X_j)$.

Observe, además, que, tensoring con $A/I$, obtenemos un isomorfismo de $A/I$ módulos de $\bar{\psi}:A/I[X_1, \dots X_n] \to A/I[X_1, \dots X_n]$. Esto puede parecer sospechoso, en primer lugar, porque $A/I$ no es plana por $A$; pero estamos bien, porque functors tomar isomorphisms a isomorphisms.

Ahora, vamos a $\alpha: A/I[X_1, \dots X_n] \to gr_I(A)$ ser el mapa que lleva a una forma homogénea $F$ grado $v$ a la imagen de $F(y_1, \dots, y_n)$$I^v/I^{v+1}$. Desde $\alpha$ es inyectiva, $\alpha \circ \bar{\psi}$ es inyectiva. Ahora, observe que $\phi = \alpha \circ \bar{\psi}$.