Morfismo suryectivo de variedades afines y dimensión.

Question

Estoy tratando de hacer el siguiente ejercicio del libro Una invitación a la geometría algebraica :

Muestre que si$X \to Y$ es un morfismo suprayectivo de las variedades algebraicas afines, entonces la dimensión de$X$ es al menos tan grande como la dimensión de$Y$.

¿Alguien podría darme una pista? Estoy buscando una prueba que evite el álgebra conmutativa ya que no se menciona en el libro en este momento.

Answer 1

Deje $f:X\to Y$ ser su morfismos de variedades algebraicas sobre el campo $k$.
a) considerando la restricción de asignación de $f^{-1}(Y_i) \to Y_i$ donde $Y_i\subset Y$ es una componente irreducible de la máxima dimensión , se reduce al caso en que $Y$ es irreductible .

b) Si $X_j$ son un número finito de componentes irreducibles de de $X$, usted tiene $Y=\cup f(X_j)$, por lo tanto $Y=\cup \overline {f(X_j)}$, por lo que una de las $f(X_j)$ es denso en $Y$.
En otras palabras, considerando $f|X_j: X_j\to Y $ a reducir, para el caso de que $X$ es irreductible, pero debe debilitar las palmas de las hipótesis a $f$ es dominante (que es con densa de la imagen) en lugar de $f$ es surjective. No te preocupes : todavía administrar!

c) Dado que los morfismos $f:X\to Y$ de irreductible variedades es dominante, se induce una de morfismos de la correspondiente función de los campos de $f^* :Rat(Y) \to Rat(X) $ .
Esto implica por pura álgebra (teoría del campo!) la desigualdad en la trascendencia grados sobre $k$ : $$trdeg_k (Rat(Y))\leq trdeg_k (Rat(Y)) \quad (*)$$
d) por último, para una irreductible variedad $Z$, sabemos que $dim (Z)=trdeg_k (Rat (Z)$ (esto es, esencialmente, un corolario de Noether de la normalización teorema). Si usted toma esto en cuenta, $(*)$ los rendimientos de la desigualdad de $$ dim(Y)\leq dim(X) \quad (**) $$

Editar El anterior funciona para todas las variedades algebraicas, afín o no. En realidad no me había dado cuenta de que el OP se mencionó afín variedades cuando respondió a la pregunta!

Answer 2

Usa la definición de dimensión que involucra cadenas de subvariedades. Ahora, puede asumir, sin pérdida de generalidad, que tanto X como Y son irreductibles (¿ven por qué?). La inducción en la dimensión de Y debería dársela entonces.