El módulo simple sobre un álgebra básica es unidimensional

Question

Me permito remitirle a la página $32$ de:

http://www.staff.city.ac.uk/a.g.cox/LTCC/Week3.pdf

Parte (b) de la proposición $3.2.4$ . ¿Por qué el hecho de que $A/\operatorname{rad}(A)$ es isomorfo a $k^m$ para algunos $m$ implica que la dimensión de cualquier $A$ -el módulo es $1$ ?

Answer 1

Hay dos reclamaciones:

1. Cada simple $A$ -módulo es un simple $A/\mathrm{rad}A$ -módulo.
2. Cada simple $k^m$ -el módulo es $1$ -dimensional.

Primero hay que tener en cuenta que si $I \subseteq A$ es un ideal de cualquier anillo $A$ y $M$ es un $A$ -tal que $IM = 0$ entonces $M$ es un $A/I$ -módulo. Además, no hemos cambiado los submódulos de $M$ es decir, cualquier $N \subseteq M$ es un submódulo para el $A$ -acción sobre $M$ si y sólo si es un submódulo para el $A/I$ -acción sobre $M$ . (Si aún no lo sabes, deberías pararte a pensar por qué es así, es un punto importante)

Ahora, para (1) se utiliza el lema de Nakayama que dice que para cualquier módulo finitamente generado $M$ el submódulo $(\mathrm{rad}A)M$ es adecuado. Si $M$ es simple esto obliga a $(\mathrm{rad}A)M = 0$ para que $M$ es un $A/\mathrm{rad}A$ -módulo. Sigue siendo sencillo porque no hemos cambiado los submódulos de $M$ .

Para (2) dejemos que $e_1, \ldots, e_m$ sea la base estándar para $k^m$ . Entonces, dado cualquier $k^m$ -Módulo $M$ podemos formar el submódulo $e_iM$ . Como la unidad $1 \in k^m$ es $1 = e_1 + e_2 + \cdots + e_m$ no puede ser que $e_iM = 0$ para todos $i$ (si no, tendríamos $1M = 0$ ). Así que arreglar $i$ tal que $e_iM \neq 0$ .

Si $M$ es simple debemos tener $e_iM = M$ (no hay submódulos propios no nulos). Nota: $e_ie_j = 0$ así que $e_jM = e_je_iM = 0$ si $i \neq j$ . Así, el ideal generado por $e_j$ con $i \neq j$ aniquila $M$ . Si volvemos a factorizar la acción obtenemos que $M$ es un simple $k$ -módulo. Ahora módulo = espacio vectorial y submódulo = subespacio. Que $M$ es un módulo simple significa que es un espacio vectorial no nulo con ningún subespacio propio no nulo. Por lo tanto, $M$ debe ser un $1$ -espacio vectorial de dimensiones.