¿La fórmula $\sqrt{ 1 + 24n }$ siempre ceder el primer?

Question

Hice algunos experimentos, el uso de C++, la investigación de los valores de $\sqrt{1+24n}$.

 n: 1 -> 5
 n: 2 -> 7
 n: 5 -> 11
 n: 7 -> 13
 n: 12 -> 17
 n: 15 -> 19
 n: 22 -> 23
 n: 35 -> 29
 n: 40 -> 31
 n: 57 -> 37
 n: 70 -> 41
 n: 77 -> 43
 n: 92 -> 47

Me pregunto, si $$\sqrt{1+24n}$$ es un número entero, esto también es un primo?

¿Hay alguna teoría interesante acerca de esta fórmula?

Gracias,
Chan

Answer 1

SUGERENCIA $\rm\: \mod\ 24\::\ \ x^2 \equiv 1\ \Rightarrow\ (5x)^2 \equiv 1\:,\ $ pero $\rm\:5\:x\:$ es el primer fib $\rm\: x= \pm1$

Tenga en cuenta que esto produce un general estructurales razón que explica por qué esos números enteros no es posible que todos los números primos. Es decir, los enteros que usted describe son simplemente aquellos enteros que, cuando se reduce el modulo $24\:,$ el rendimiento de las raíces cuadradas de los $1\:.\:$, Pero esas son las raíces cerrado bajo la multiplicación: $\rm\ x^2\equiv 1,\ y^2\equiv 1\ \Rightarrow\ (xy)^2\equiv 1\:.\:$, Pero los números primos son no es cerrado bajo la multiplicación. Por ejemplo, uno puede tomar cualquiera de su primer y soluciones de multiplicar para obtener una solución compuesta, por ejemplo, $\rm\ 5^2 = 25,\: \ 5\cdot 7 = 35\:,\:$ etc.

Aviso que no son, precisamente, $8\:$ la raíz cuadrada de $\rm 1\ (mod\ 24)\ $ viz. $\rm \pm 1,\:\pm 5,\:\pm 7,\: \pm 11\:,\:$ correspondiente (por $\rm CRT$) del producto de las dos raíces $\rm\ \pm 1\ (mod\ 3)\ $ los tiempos de las cuatro raíces $\rm\ \pm 1,\: \pm 3\ (mod\ 8)\:.\:$ tenga en cuenta que estas son precisamente las clases de congruencia de todos los enteros coprime a $\:3\:$ $\rm\:2\:,\:$ que incluye todos los números primos $> 3$. Esto explica sus observaciones empíricas anteriores. La observación clave, que $\rm\ x^2\equiv 1\ (mod\ 24)\ \iff\ x\:$ es coprime a $\:6\:,\:$ no es sino un caso muy especial de cálculo de Carmichael de la generalización de Euler del phi-función - ver mi post aquí para más detalles.

Answer 2

Nope. $\sqrt{1+24*381276} = 3025 = 605 * 5$

Hay muchos de esos formulars que parecen ceder sólo los números primos, pero la mayoría de ellos no lo son.

Answer 3

$\sqrt{1+24\cdot 26} = \sqrt{625} = 25$!

$$\sqrt{1+24\cdot n} = x$$

$${1+24\cdot n} = x^2$$

$$ n = \dfrac{x^2 -1}{24}$$

Así que si $x=25$, $\dfrac{x^2 -1}{24}$ es un número entero.

Answer 4

(p-1)(p+1) debe ser divisible por 2 veces 4 si p es un entero impar (puesto que p-1 y p+1 son "consecutivo incluso los números" para que ambos son divisibles por 2, y uno de ellos es divisible por 4). Si p no es divisible por 3, entonces uno de los números p-1 o p+1 debe ser divisible por 3. Por tanto, para cualquier entero impar p, que no es divisible por 3, el producto (p-1)(p+1) debe ser divisible por 2*4*3=24. Así que para CUALQUIER entero impar p no divisible por 3 existe algún entero n (dependiendo de p) tal que p^2-1=24 n. Así que... pero usted puede llenar los espacios en blanco ahora, n'est-ce pas?