El hecho de que un anillo comutativo tiene un espacio topológico natural asociado sigue siendo una coincidencia muy interesante. El tema entero de la geometría algebraica se basa en este hecho sencillo.
Pregunta: ¿Hay otras categorías de objetos algebraicos que tienen interesantes topologías naturales que llevan datos algebraicos como la topología de Zariski en un anillo (espectro)? Si existen, ¿qué son y cómo se usan?
Sí, hay un montón de cosas.
[En el siguiente, "compacto" implica "localmente compacto" implica "Hausdorff".]
1) un álgebra de boole, que se asocia su Piedra espacio, un compacto totalmente desconectado del espacio.
(A través de la correspondencia entre Booleano álgebras Booleanas y anillos, este es un caso especial de la topología de Zariski, pero con un sabor distintivo-que es anterior a ella).
2) A un no-unital Booleano anillo de uno de los asociados de su Piedra de un espacio localmente compacto totalmente desconecta el espacio.
3) Para una conmutativa la C*-álgebra con unidad, uno asocia su Gelfand espectro, un espacio compacto.
4) A un conmutativa la C*-álgebra sin unidad, que se asocia su Gelfand espectro, un localmente compacto espacio.
6) A una de Banach conmutativa tórica [o un esquema sobre un no-Arquímedes campo, o...] asocia su Berkovich espectro (el delimitada multiplicativo seminorms).
7) A un anillo conmutativo R, uno asocia su real espectro (primer ideales, además de órdenes en el residuo de dominio.)
8) A un campo de extensión de K/k, que se asocia su Zariski superficie de Riemann (clases de equivalencia de valoraciones sobre K, que son triviales en k).
Esto no significa de ninguna manera una lista completa...
Addenda: no me había dirigido la segunda parte de su pregunta, es decir, explicar lo que estas cosas se utilizan para. Brevemente, la analogía con la Zariski espectro de un anillo conmutativo es lo suficientemente apretado para dar la impresión correcta de la utilidad de estos otros espectros/espacios: son espacios topológicos asociados (cofunctorially) a la algebraicas (o algebraico-geométrico, topológico algebraicas, etc.) los objetos en cuestión. Que llevar suficiente información para que sea útil en el estudio de la algebraicas objetos en sí (a veces, por ejemplo, en el caso de la Piedra y Gelfand espacios pueden dar la información completa, es decir, un anti-equivalencia de categorías, pero no siempre). En algunos casos, uno puede obtener la anti-equivalencia mediante la adición de una nueva estructura en un muy conocido: se puede conectar estructura de poleas para estos chicos y así obtener una clase de modelo de "espacios" para una cierta especie localmente anillado espacios-por ejemplo, Berkovich espectros de pegamento juntos para dar Berkovich analítica de los espacios.
Preguntas interesantes. En realidad, este hecho se relaciona con el trabajo en la definición de un natural de la topología en categorías, que es parte de no conmutativa la geometría algebraica.
A. Rosenberg definido la izquierda del espectro para un no conmutativa anillo en 1981 (ver a La izquierda del espectro, la Levitzki radical, y no conmutativa esquemas), y más generalizada de este espectro a cualquier abelian categoría (véase la reconstrucción de los esquemas), y resultó el llamado Gabriel-Rosenberg reconstrucción teorema que condujo a la definición correcta de no conmutativa esquema. Puede que yo tenga tiempo para hablar de esto más tarde. Pero por ahora, sólo señalar algunos documentos, como los Espectros de no conmutativa espacios.
En este trabajo, Rosenberg toma un abelian categoría de "no conmutativa espacio" y define varios de los espectros de los diferentes objetivos. (UN notable destino es para la teoría de representaciones de álgebras de Lie y los grupos cuánticos.)
Uno no sólo puede definir el espectro de abelian categorías; esta noción también tiene sentido en un no-abelian categoría y una triangular de la categoría. En el papel de los Espectros relacionados con localizaciones, Rosenberg se define el espectro directamente relacionada con la localización de las categorías. A grandes rasgos, el espectro de una categoría es una familia de topologizing subcategorías (que, por definición, está cerrado bajo la suma directa, sub - y el cociente; en particular, de espesor o Serre subcategorías) satifying algunas condiciones adicionales.
También hay otro papel, Subyacente espacios de no conmutativa esquemas, tratando de indagar en el espacio subyacente de un no conmutativa esquema u otro no conmutativa "espacio" en no conmutativa la geometría algebraica. Si queremos salvar a la plana descenso en general, podríamos perder el cambio de base de la propiedad. En este trabajo, Rosenberg trata de la "cuasi-topología" (que significa abandonar el cambio de base de la propiedad) y se define el espectro asociativo de una categoría. Por otra parte: para los objetivos de la teoría de la representación, se construyó un marco de relación teoría de la representación con el espectro de abelian categoría (en particular, las categorías de módulos). En realidad, en este idioma, irreductible representaciones están en una correspondencia uno a uno con los puntos cercanos en el espectro; genéricos puntos en el espectro de producir representaciones (no necesariamente irreducible).
La parte más importante en este trabajo es que proporciona un completo categórica (algebro-geométrica) manera de hacer la inducción en un abelian categoría, en lugar de la derivada de la categoría. (Explicaré esto más adelante si tengo tiempo). Este semestre, Rosenberg nos dio una conferencia supuesto, el uso de este framework para calcular todas las representaciones irreducibles por el álgebra de Weyl, el álgebra envolvente, cuantificada envolvente álgebras, álgebras de operadores diferenciales, $SL\_2({\mathbb R})$ y otros algebraica de los grupos, o relacionados con álgebras asociativas. Funciona de manera muy eficiente. Por ejemplo, la computación de representaciones irreducibles de $U(sl_3)$ se cree, es muy complicado, pero el uso de este espectro marco, se vuelve mucho más sencillo.
El marco general de estas es la contenida en el papel de los Espectros de puntos asociados y la teoría de la representación. Si quieres ver algunos ejemplos concretos de uso de esta máquina, usted debe buscar en Rosenberg viejo libro no conmutativa la Geometría Algebraica Y Representaciones De Cuantificada Álgebras. Hay otro papel de los Espectros de `espacios' representado por abelian categorías, proporcionando la teoría general para esta maquinaria.
Además, podemos definir el espectro para una exacta categoría; de manera más general, para cualquier Grothendieck sitio, y así para cualquier categoría (porque cualquier categoría canónica de Grothendieck pretopology). Rosenberg ha reciente trabajo de definir el espectro de tales categorías: Geometría de la derecha exacto `espacios' -- la principal motivación de este trabajo es proporcionar un fondo para más universal algebraica de K-teoría de un derecho exacta categoría (una categoría con una familia de estricta epimorphisms puede ser tomado como un solo lado exacto de la categoría). Más importante que la motivación es el estudio de ciclos algebraicos para no conmutativa esquemas. (Advertencia: este documento es muy abstracto y difícil de leer. Vamos a ir a través de este documento en la conferencia curso de este semestre.)
Todas estas cosas van a aparecer pronto en su nuevo libro con Konstevich (pero no estoy seguro de la hora exacta). Si tengo el tiempo suficiente para post, voy a explicar en más detalle, cómo la teoría del espectro para abelian categorías entra en teoría de la representación, y cómo esta imagen está relacionada con la derivada de la imagen de Beilinson-Bernstein y Deligne. De hecho, hoy hemos aprendido Beck, el teorema de Karoubian categorías trianguladas y va a hacer la DG-versión de Beck, el teorema de la tarde. Y entonces, él le introducirá en el espectro de categorías trianguladas, y explicar la no conmutativa la geometría algebraica hechos detrás de la BBD máquina y la conexión con su abelian de la máquina.
A cualquier estructura de primer orden se puede asociar una topología de Zariski-como, aproximadamente por medio de cierre de los sistemas los subconjuntos definibles por fórmulas sin negación, por ejemplo, aquí y en el artículo ligado allí.
Si la primera estructura de orden es un campo algebraicamente cerrado donde interpretas el lenguaje de los anillos de volverá la topología de Zariski.
Interesante grupos finitos tienden a tener interesantes inherentes geometrías (como en órbita-estabilizador de vueltas acciones externas en acciones internas, similar ideas externas muchos geometrías en coset geometrías). La geometría inducida por la conjugación de Sylow p-subgrupos es importante para todos los grupos finitos, y se vuelve a describir la (p-finalización de la) clasificar el espacio del grupo.
La geometría ha sido siempre una parte importante de la teoría de grupos. Zassenhaus grupos y bruscamente triplemente transitiva grupos suelen tener un subyacente afín o proyectiva del plano que se actúa. Las primeras investigaciones de estos especiales de permutación de grupos en la década de 1930 llevado a que el desarrollo sistemático de la geometría finita sobre las cosas que no sean campos. Usted puede recuperar la estructura algebraica de algo como un anillo sólo a partir de la permutación de la acción de grupo (a menudo sobre una base regular subgrupo). M. Hall Jr. del libro de texto sobre la Teoría de los Grupos tiene una bonita exposición de estas ideas.
Por supuesto finito de grupos de Lie tipo que actúan en su Borel subgrupos también importante definir geometrías, aproximadamente llamados "edificios", y hay un gran número de referencias para aquellos. Esto se convirtió en una forma muy popular de entender la no-esporádica de grupos. Estos grupos de Lie tipo tiene otras buenas acciones, a menudo en la interesante finito geometrías llamado generalizado de los polígonos.
Equivariant homotopy la gente se dio cuenta de que algunas de estas geometrías son casi suficiente para definir una clasificación de espacio del grupo, junto con una buena descomposición de su cohomology anillo. D. Benson y S. D. Smith, el libro sobre la Clasificación de los Espacios de Esporádicos Simple Grupos (MR2378355) describe estas técnicas con un razonablemente algebraicas sentir. Modulo algunos detalles, estos son la fusión de los sistemas de Scott Carnahan mención en un hilo anterior, MO5659. Estas geometrías fueron investigados con el fin de proporcionar un aspecto más natural analógica de edificios para los grupos.
En realidad, supongo que usted podría sentir que la clasificación de los mismos espacios son naturalmente asociados a grupos finitos.
Edit: pensé que podría ser útil señalar las similitudes con el Zariski topología: La topología de Zariski, básicamente, codifica cómo el primer ideales se cruzan. De la fusión de un grupo finito codifica cómo subgrupos de Sylow se cruzan. Fuerte de fusión no sólo realiza un seguimiento de las intersecciones, pero también de la G-interior) de los mapas entre las intersecciones, por lo que la fusión se convierte en una categoría. Desde la fusión de los controles de cohomology, parecía natural que mirar cómo la fusión se describe la clasificación de espacio de un grupo. Sorprendentemente, hace un gran trabajo de describir el p-finalización de la clasificación de espacio y facilita bastante cálculos directos. En otras palabras, los datos codificados por el "primer subgrupos" (Sylow p-subgrupos) también codifica un natural topológica del espacio asociado al grupo su (p-completo) clasificar el espacio.
Varias áreas de la combinatoria, como ciertas partes de la teoría de grafos y geometría finita, también parecen estar basadas en el simple hecho de que grupos interesantes interesantes geometrías. Una reciente clasificación de Steiner triple sistemas seguido desde detallado de las clasificaciones de los finitos simples grupos y multiplicar transitiva de permutación de grupos, y varias familias de grafos son interesantes debido a su automorphism grupos.
Espero que quede claro también que la separación de un grupo de sus acciones no es sensato. Las acciones de un grupo son codificadas por el conjugacy clases de sus subgrupos, y es totalmente interno. La mayoría de las geometrías asociadas a los grupos también son internos. Esto es básicamente por la clasificación de los finitos simples grupos puede tener éxito: la acción natural de un grupo que ya está contenido dentro de él en una forma fácil de describir, de manera que una vez que la estructura local de un grupo es lo suficientemente similar a la de un grupo conocido, que el propio grupo es isomorfo a un grupo conocido.
El $I$-ádico topología en anillo conmutativo $$ (con la unidad), donde $I$ es un ideal de $A$. Los conjuntos cerrados son las intersecciones finitas de los sindicatos de los conjuntos de la forma $a+I^n$ con $a\in A$ y $n\in\mathbb{N}$ (donde $\mathbb{N}$ incluye $0$). Esta topología tiene muchos trivial, pero muy útil de propiedades, tales como: El anillo $A$ es separado (=Hausdorff) con respecto a esta topología si y sólo si $\displaystyle\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I^n=0$. El ejemplo más importante es el polinomio anillo $A=B\left[X_1,X_2,...,X_n\right]$ con el ideal $I=\left(X_1,X_2,...,X_n\right)$. Este es separado, pero no completa. Su terminación es el anillo de poder de la serie $B\left[\left[X_1,X_2,...,X_n\right]\right]$.
Esta es probablemente la más elemental ejemplo de una topología álgebra. Creo que Szamuely el libro tiene más avanzados.
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