Noether ' Teorema de s para las transformaciones más interesantes de la coordinar tiempo

Question

De acuerdo a Wikipedia, el teorema de Noether (para la mecánica de un punto de partículas) dice que si la transformación siguiente es una simetría de la Lagrangiana

$$t \to t + \epsilon T$$

$$q \to q + \epsilon Q$$

A continuación, la siguiente cantidad se conserva

$$\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{q} - L \right) T - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} Q$$

Ahora en este punto, casi siempre se considerar $T=1$ o $T=0$ --- se puede considerar interesante la transformación espacial de la co-coordinación, tales como $\vec{Q} = \vec{n} \times \vec{q}$ espaciales rotaciones, pero raramente consideramos interesantes transformación de tiempo.

Supongamos que nuestro Lagrange está dada por

$$L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2$$

es decir, un simple cinética de Lagrange. Entonces no podemos hacer la transformación

$$t \to t' = t + \epsilon t = (1+\epsilon)t$$

$$q \to q' = q + \epsilon q = (1+\epsilon)q$$

es decir,$T=t$$Q=q$. Este es el ejemplo más simple de un tiempo de transformación de lo que yo podía pensar que no era el trivial $T=1$ o $T=0$. Entonces yo diría que nuestro Lagrangiano es invariante bajo esta transformación, ya que

$$\frac{d q'}{d t'} = \frac{d q'}{d q}\frac{d q}{d t}\frac{d t}{d t'} = (1+\epsilon) \frac{dq}{dt}(1+\epsilon)^{-1} = \frac{dq}{dt}$$

y así, en las nuevas coordenadas, tenemos la misma de Lagrange. A continuación, a partir de la expresión en la parte superior de este post, la cantidad

$$\left(\frac{1}{2}m\dot{q}^2\right)t - (m\dot{q})q$$

deben ser conservados. Podemos trivialmente mostrar no es, sin embargo.

Dónde está mi error?

Answer 1

El teorema de Noether requiere que la acción es para ser invariantes bajo las transformaciones y no el de Lagrange. Para las transformaciones que cambiar la medida de la integración de $dt$ esto es diferente de invariante de Lagrange.

Si queremos demanda de la invariancia de la acción $$ I = \int \frac{m \dot{p}}{2}\, dt $$ en virtud de la transformación que incluye la modificación de la escala de tiempo, la correcta transformación para este caso sería $$ t\to t' = t+\epsilon t,\qquad q\to q' = q+\epsilon \frac q2,$$ (note que el factor de $1/2$$q$, ya que tenemos que compensar sólo una $(1+\epsilon)$ multiplicador en la acción por la modificación de la escala de $q$).

El uso de la wikipedia la definición de la Noether del conservadas cantidad obtenemos: $$ A = \frac{m \dot{q}^2}2 t - \frac{m \dot{q} q}{2}.$$ Es claramente conservadas en las ecuaciones de movimiento $\ddot{q}=0$.