Expectativa condicional por $\sigma (G_n,Y)$ $Y$ $G_\infty$ haya-medibles

Question

Que $Gn$ ser una filtración (una secuencia creciente de álgebras de sigma), $Y$ una variable aleatoria que es $G\infty$-mensurable y $X$ una variable aleatoria. Es cierto que en $L^2$-norma,

$$ \mathbb{E}[X \mid \sigma (G_n,Y)]- \mathbb{E}[X \mid G_n] \stackrel{n \rightarrow + \infty}{\rightarrow} 0 $$

Answer 1

Lema Deje $X \in L^2$ $(\mathcal{G}_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una filtración. Entonces $$\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}(X \mid \mathcal{G}_n) = \mathbb{E}(X \mid \mathcal{G}_{\infty}) \quad \text{in} \, L^2$$ where $\mathcal{G}_{\infty} := \sigma(\mathcal{G}_n; n \in \mathbb{N})$.

Prueba: Set $X_n := \mathbb{E}(X \mid \mathcal{G}_n)$. Obviamente, $(X_n,\mathcal{G}_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es una martingala. Desde la martingala es limitado en $L^2$, la martingala teorema de convergencia implica $X_n \to Y$ $L^2$ para algunos variable aleatoria $Y \in L^2$. Queda por demostrar que $Y= \mathbb{E}(X \mid \mathcal{G}_{\infty})=:X_{\infty}$. Por la torre de la propiedad, tenemos $$\mathbb{E}(Y \mid \mathcal{G}_n) = X_n = \mathbb{E}(X \mid \mathcal{G}_n) = \mathbb{E}(X_{\infty} \mid \mathcal{G}_n)$$ Por lo tanto, para cualquier $G \in \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{G}_n$: $$\int_G Y \, d\mathbb{P} = \int_G X_{\infty} \, d\mathbb{P}$$ Since $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{G}_n$ is a generator of $\mathcal{G}_{\infty}$, que es estable en las intersecciones, esto implica $$\int_G Y \, d\mathbb{P} = \int_G X_{\infty} \, d\mathbb{P}$$ para cualquier $G \in \mathcal{G}_{\infty}$. Eligiendo $G := [\pm (X_{\infty}-Y)>0]$, nos encontramos con $X_{\infty} = Y$.s. Esto termina la prueba.

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El lema muestra que $\mathbb{E}(X \mid \mathcal{G}_n) \to \mathbb{E}(X \mid \mathcal{G}_{\infty})$$L^2$. Aplicando el lema de la filtración $\mathcal{H}_n := \sigma(\mathcal{G}_n,Y)$ rendimientos $$\mathbb{E}(X \mid \sigma(\mathcal{G}_n,Y)) = \mathbb{E}(X \mid \mathcal{H}_n) \to \mathbb{E}(X \mid \mathcal{H}_{\infty}) = \mathbb{E}(X \mid \mathcal{G}_{\infty})\quad \text{in} \, L^2$$ using that $\mathcal{H}_{\infty} = \mathcal{G}_{\infty}$ since $S$ is $\mathcal{G}_{\infty}$-medible. En consecuencia,

$$\mathbb{E}(X \mid \sigma(\mathcal{G}_n,Y))-\mathbb{E}(X \mid \mathcal{G}_n)\to 0 \quad \text{in} \, L^2.$$