Dimenson proyectivo del producto del tensor

Question

He sido struggeling por algún tiempo con el siguiente problema

Deje $k$ ser un campo y $A$ $B$ $k$- álgebras. A continuación, podemos ver el producto tensor $A\otimes_k B$ $k$- álgebra $(a_1\otimes b_1)\cdot (a_2\otimes b_2)=(a_1a_2\otimes b_1b_2)$.

Deje $M$ $A$- módulo de con $pd_A(M)=m$ $N$ $B$- módulo de con $pd_B(N)=n$. Demostrar que $pd_{A\otimes B}(M\otimes N)\leq m+n$.

He comprobado que $M\otimes N$ es de hecho una $A\otimes_k B$-módulo, pero nada más. He tratado de encontrar una resolución proyectiva para $M\otimes N$ y he tratado de mostrar que el $Ext^{m+n}(M\otimes N,C)\cong 0$ cualquier $C$, pero sin suerte.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Deje $P_\bullet$ ser un proyectiva de la resolución de la longitud de la $m$ (existente debido a supuestos) y $Q_\bullet$ ser un proyectiva de la resolución de la longitud de la $n$. A continuación, puede definir una compleja $P\otimes Q$$(P\otimes Q)_i=\bigoplus_{j+\ell=i}P_j\otimes Q_\ell$. Y $P_j\otimes Q_\ell\mapsto P_{j+1}\otimes Q_\ell\oplus P_j\otimes Q_{\ell+1}$ con el segundo diferencial conectado con un signo de $(-1)^j$, como se explica por ejemplo, en PlanetMath. Ahora usted puede probar que esta secuencia es, de hecho, exacta, ya sea a mano o con la Künneth teorema. Obviamente tiene una longitud de $n+m$.