Probar o refutar la igualdad de dos cantidades

Question

Jugando con maxima encontré que las sumas de $ de $$\sum{n=1}^\infty \frac{1}{2^n n^2}$ y $$\sum{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{H_n}{n}$ $ son numéricamente iguales, donde $Hn=\sum\limits{k=1}^n\frac1k$. No sé si es casualidad o podemos demostrar la igualdad. Cualquier aclaración es bienvenida.

Answer 1

El número armónico puede ser representado por la integral

$$H_n=\int_0^1\frac{1-x^n}{1-x}\,dx \tag 1$$

Luego, usando $(1)$ revela

$$\begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}H_n}{n}&=\int0^1 \frac{1}{1-x}\sum{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}(1-x^n)}{n}\,dx \tag 2\\ &=\int0^1 \frac{\log(2)-\log(1+x)}{1-x}\,dx \tag 3\\ &=-\int{0}^{1/2} \frac{\log(1-x)}{x}\,dx \tag 4\\ &=\text{Li}2(1/2)\\ &=\sum{n=1}^\infty \frac{1}{2^n\,n^2} \end {Alinee el} $$

como se muestra.

En ir de $(2)$ $(3)$, observamos que el $\log(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$.

En pasando de $(3)$ $(4)$, aplica la sustitución $\frac{1+x}{2}\to 1-x$.

Answer 2

Aquí es un comienzo.

Estas cantidades son un valor de dilogarithm definida $Li2(z) = \sum{k=1}^{\infty} \dfrac{z^k}{k^2} =-du \int_0^z \dfrac{\ln(1-u)} {u} $.

Ver aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Spence' s_function

La primera suma es $Li_2(\frac12) =\dfrac{\pi^2}{12}-\dfrac{\ln^2(2)} {2} $.

No sé cómo probar que la segunda suma es igual a la primera, pero estoy seguro de que alguien aquí.