Encontrar la suma de la serie infinita $1+\frac{1}{2} i+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}i+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}i+ \cdots$

Question

Encontrar la suma de la serie infinita $1+\frac{1}{2} i+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}i+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}i+ \cdots$

Sé que la serie geométrica sin la parte imaginaria convergerían a $1$ pero no he tratado con complejo serie infinita por lo que no estoy seguro cómo que sería efecto de la serie donde estoy acostumbrado a tratar sólo en $\mathbb{R}$

Answer 1

Tratar a las partes reales e imaginarias por separado. Nota que se trata de cambio de términos no altera la suma.

$$S = \sum{k=0}^{\infty}4^{-k}+i2^{-1} \sum{k=0}^{\infty}4^{-k}\ = \frac{4}{3}+\frac{2}{3}i$$