Demuestra que $f$ es una función constante si $f(x)-f(y) \leq (x-y)^2$

Question

<blockquote> <p>$f$ Es una función defi ned sobre números verdaderos que $f(x)-f(y) \leq (x-y)^2$ % todos $x,y \in R$. Demostrar que $f$ es una función constante.</p> </blockquote> <p><strong>Intento de</strong></p> <p>Tenemos que $f(x)-f(0) \leq x^2$ y $f(0)-f(y) \leq y^2$ y $f(x)-f(y) \leq x^2+y^2$. Pero también tenemos que $f(x)-f(y) \leq (x-y)^2 = x^2+y^2 -2xy$. Por lo que parece implicar que $xy$ es positiva. No estoy seguro de lo mucho que ayuda, sin embargo.</p>

Answer 1

Arreglar cualquier $x\in\mathbb R$ y $h\in\mathbb R\setminus{0}$. Luego, dejar que $y\equiv x+h$ y dividiendo por $|x-y|=|h|$, uno tiene que $$\left|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right|\leq|h|.$$ Letting $h\to 0 $ implies that $f $ is differentiable at $x $ and $f ' (x) = 0$.