¿Qué es la transformación galileana del campo EM?

Question

Consideremos un sistema de referencia $S$ y que observamos algún campo eléctrico $\mathbf{E}$ y campo magnético $\mathbf{B}$ .

Sea $S'$ sea un sistema de referencia que se mueve a velocidad constante $\mathbf{u}$ con respecto a $S$ . En $S'$ observamos un campo eléctrico $\mathbf{E'}$ y campo magnético $\mathbf{B'}$ .

La pregunta obvia es cómo es el campo EM en el marco $S'$ relacionado con el campo EM en el marco $S$ . Sabemos que la relatividad especial nos da una respuesta exacta, pero supongamos que no sabemos nada de SR.

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Primero impongamos que si observamos alguna partícula cargada $q$ con velocidad $\mathbf{v_0}$ experimentando la fuerza de Lorentz en el marco $S$ entonces debería experimentar la misma fuerza en todos los demás fotogramas.

Por lo tanto $$\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B})=\mathbf{F'}=q(\mathbf{E'}+\mathbf{v'} \times \mathbf{B'}) \tag{*}$$

Suponiendo la transformación galileana de la velocidad, tenemos $\mathbf{v'}+\mathbf{u}=\mathbf{v}$ . Ahora bien, como (*) debe cumplirse para todas las velocidades $\mathbf{v}$ deducimos que

$$\mathbf{E'}=\mathbf{E}+\mathbf{u}\times\mathbf{B} \tag{I}$$

$$\mathbf{B'}=\mathbf{B} \tag{II}$$

Ahora bien, este análisis conduce a una paradoja evidente. Si elegimos $S'$ para ser el marco de referencia de la carga en movimiento $q$ entonces en $S'$ no tenemos campo magnético, lo que impondría por (II) que $\mathbf{B}=0$ en todos los cuadros $S$ una clara contradicción.

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Ahora bien, aparentemente existe algo llamado transformación de campo galileana que conserva (I) pero sustituye (II) por:

$$\mathbf{B'}=\mathbf{B}-\frac{1}{c^2}\mathbf{u} \times \mathbf{E} \tag{III}$$

Además, aparentemente lo anterior puede deducirse sin asumir SR.

Mi pregunta es ¿cómo podemos deducir (III) sin suponer SR? Obviamente tenemos que abandonar la suposición de que la fuerza de Lorentz es invariante bajo un cambio de marco de referencia, lo cual es físicamente poco intuitivo.

Además, ¿resuelve la transformación galileana la paradoja descrita anteriormente?

Answer 1

En el marco de la carga, la ley de fuerza de Lorentz se convierte en $q({\bf E} + {\bf 0} \times {\bf B}) = q {\bf E}$ . El campo magnético no aplica una fuerza sobre la partícula, pero eso no significa que tenga que ser ${\bf 0}$ . Sólo significa que no se puede utilizar esa partícula en particular para medir la ${\bf B}$ campo en ese fotograma concreto.