La prueba de que $\frac{2}{3} < \log(2) < \frac{7}{10}$

Question

Integrales positivos $$\int_{0}^{1}\frac{2x(1-x)^2}{1+x^2}dx=\pi-3$ $ y $ el $\int_0^1\frac {x ^ 4(1-x) ^ 4} {1 + x ^ 2} dx = \frac {22} {7}-\pi $$ (http://math.stackexchange.com/a/1618454/134791)

demostrar que %#% $ #%

¿Hay un argumento similar para la siguiente desigualdad de $$3

Answer 1

Hay integrales positivos que se relacionan con $\log(2)$ sus cuatro primeros convergents: $0,1,\frac{2}{3},\frac{7}{10}$. $$\begin{align} \int_0^1\frac{2x}{1+x^2}dx &= \log\left(2\right) \ \int_0^1\frac{(1-x)^2}{1+x^2}dx &= 1-\log\left(2\right) \ \int_0^1\frac{x^2(1-x)^2}{1+x^2}dx &= \log\left(2\right)-\frac{2}{3} \ \int_0^1\frac{x^4(1-x)^2}{1+x^2}dx &=\frac{7}{10}-\log\left(2\right) \ \end {Alinee el} $$

Por lo tanto, $$-\int_0^1\frac{x^2(1-x)^2}{1+x^2}dx

$$\frac{2}{3}-\log(2)

$$\frac{2}{3}

Un sistema similar está disponible con denominadores $(1+x)$:

$$\begin{align} \int_0^1 \frac{1}{1+x}dx &= \log(2) \ \int_0^1 \frac{x}{1+x}dx &= 1-\log(2)\ \frac{1}{2}\int_0^1 \frac{x^2(1-x)}{1+x} dx &= \log(2)-\frac{2}{3} \ \frac{1}{2}\int_0^1 \frac{x^5(1-x)}{1+x} dx &= \frac{7}{10}-\log(2) \end {Alinee el} $$

y versiones de la serie están dados por

$$\begin{align} \log(2)-\frac{2}{3} &= \sum{k=1}^\infty \frac{1}{(2k+1)(2k+2)(2k+3)} \ \frac{7}{10}-\log(2) &= \sum{k=2}^\infty \frac{1}{(2k+2)(2k+3)(2k+4)} \ \end {Alinee el} $$