¿Es un subcampo de cada campo finito de $\mathbb Z/p\mathbb Z$?

Question

Traduzco esto de un libro alemán: "para cada campo finito $K$ allí existe un número primo $p$ tal que $\mathbb Z/p\mathbb Z$ es un subcampo de $K$"

Pero, ¿cómo es esto posible? Por ejemplo el campo $K = {0,1}$ contiene enteros pero $\mathbb Z/p\mathbb Z$ contiene las clases de equivalencia. Para ser un subcampo también tendría que ser un subconjunto de $K$.

Answer 1

Cada campo contiene un subcuerpo isomorfo a $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ (para algunos prime $p$) o $\mathbb{Q}$.

Esto se deduce de las leyes básicas de la aditivo exponentes.

Deje $\mathbb{K}$ ser un campo con identidad multiplicativa $1_\mathbb{K}$. A continuación, considere el mapa de $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{K}$ definido por $n \mapsto n1_\mathbb{K}=\underbrace{1_\mathbb{K}+1_\mathbb{K}+\cdots+1_\mathbb{K}}_{n-\mbox{times}}$.

Leyes básicas de la (aditivo) de los exponentes nos dicen que $f(n+m)=(n+m)1_\mathbb{K} = n1_\mathbb{K}+m1_\mathbb{K}=f(n)+f(m)$ $f(nm)=(nm)1_\mathbb{K} = (n1_\mathbb{K})(m1_\mathbb{K})=f(n)f(m)$ $f$ es un anillo homomorphism. Por lo tanto, por el primer teorema de isomorfismo $\mathbb{Z}/\mathrm{Ker}(f) \cong \mathrm{Im}(f)$.

El núcleo de $f$ es $\{0\}$ (esto significa que $\mathbb{K}$ tiene características de las $0$) y por lo $\mathbb{Z} \cong \mathrm{Im}(f)$. Por lo tanto $\mathbb{K}$ tiene un sub-anillo isomorfo a los enteros y así (ya que es un campo) debe tener (multiplicativo) los inversos de estos elementos y por lo que tiene un sub*campo* isomorfo a $\mathbb{Q}$.

De lo contrario el kenerl de $f$ es un ideal distinto de cero de a$\mathbb{Z}$, por lo que tiene la forma de $p\mathbb{Z}$ donde $p$ debe ser un primo (de lo contrario $\mathbb{K}$ sería un contener un sub-anillo que tiene divisores de cero). Por lo tanto $\mathbb{K}$ tiene un sub-anillo isomorfo a $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ (para algunos prime $p$).

Si partimos de la suposición de que $\mathbb{K}$ es finito, esto descarta la característica cero (no hay suficiente espacio para que quepa el infinitamente grande copias de $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Q}$). Por lo finito de los campos debe contener un subcuerpo isomorfo a $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ para algunos prime $p$.

Por cierto, estos subcampos (el subcampo generado por $1_\mathbb{K}$) se llama el primer subcampos.

Para su caso en particular, $K=\{0,1\} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (este campo es de carácter 2 y es igual a su primer subcampo).

Answer 2

contiene un $\mathbb Z / 2\mathbb Z$ $K={0,1}$. Que significa $\mathbb Z / 2\mathbb Z$ y $K={0,1}$ es isomorfismo.