Encontrar la derivada de $y=x\sqrt{9-x}$

Question

"Encontrar el derivado de $y=x\sqrt{9-x}$".

Así que esto es lo que tengo y ahora estoy atrapado.

\begin{align} y' &= x \frac{d}{dx}\left[(9-x)^{1/2}\right] + (9-x)^{1/2} \frac{d}{dx}(x)\ &= x \left[\frac{1}{2}(9-x)^{-1/2}\right] + (9-x)^{1/2} (1) \end {Alinee el}

Así que ahora que tengo que multiplicar y simplificar pero no sé dónde empezar. ¡Ayuda!

Este problema es en realidad parte de una pregunta de tarea donde tengo que analizar una gráfica y encontrar puntos críticos y min y max.

Answer 1

Sólo por diversión, un enfoque alternativo:

$$\begin{align} y&= x\sqrt{9-x}\ y^2&=9x^2-x^3\ 2yy'&=18x-3x^2\ y'&=\frac{18x-3x^2}{2y}\ y'&=\frac{18x-3x^2}{2x\sqrt{9-x}}\ y'&=\frac{18-3x}{2\sqrt{9-x}} \end {Alinee el} $$

Answer 2

Establece % $ $$f(x)= x, \quad g(z) = \sqrt{z}\quad \text{ and }\quad h(x)= 9-x,$#% $ #% debe poder calcular $$y = f(x)g(h(x)).$ $ ahora utilizando la regla de la multiplicación y la regla de la cadena de derivados, sabemos que $$f'(x)= 1, \quad g'(z) = \frac{1}{2\sqrt{z}}\quad \text{ and }\quad h'(x)=-1.$ $ reemplazando por las expresiones anteriores, obtenemos $$y' = g(h(x))f'(x)+f(x)(g(h(x)))' = g(h(x))f'(x)+f(x)(g'(h(x))h'(x)),$ $

Answer 3

También, para la diversión, un enfoque diferente utilizando logaritmos. Podría parecer que hace las cosas más difíciles, pero en realidad se pone a mirar en problemas similares de manera diferente. Si $f(x) = x \sqrt{9-x}$, a continuación, defina $Lf(x) = \log f(x)$. Usted obtener $$ Lf(x) = \log x + \log \sqrt{9-x} = \log x +\frac{1}{2}\log (9-x)\\ \frac{d L f(x)}{dx} = \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{x}-\frac{1}{2(9-x)} = \frac{3(6-x)}{2x(9-x)} $$ Por lo tanto, $$ f'(x) = \frac{3f(x)(6-x)}{2x(9-x)} = \frac{3x \sqrt{9-x}(6-x)}{2x(9-x)} = \frac{3 \sqrt{9-x}(6-x)}{2(9-x)} $$

Answer 4

$$y=x\sqrt{9-x}$$ $$y'=x'\sqrt{9-x}+x(\sqrt{9-x})'=\sqrt{9-x}+x\frac{1}{2\sqrt{9-x}}(9-x)'=$$ $$=\sqrt{9-x}+x\frac{1}{2\sqrt{9-x}}(-1)=\sqrt{9-x}+\frac{-x}{2\sqrt{9-x}}=$$ $$=\frac{2(9-x)-x}{2\sqrt{9-x}}=\frac{18-3x}{2\sqrt{9-x}}$$

Answer 5

Sea entonces, $ de $$ y=(-u+9)(u^{\frac{1}{2}})$ %#% $ #%

Y los derivados, $$y=(-u^{3/2}+9u^{1/2})$ $

$$y'= -{\frac{3}{2}}(u^{1/2})+{\frac{9}{2}}(u^{-1/2})$

$u= 9-x$$