Cuando elementos irreducibles de un UFD permanecen irreductibles en una extensión de anillo

Question

Deje $U$ ser un Noetherian UFD y deje $D$ ser un Noetherian integral de dominio (no se sabe para ser un UFD) tal que $U \subseteq D$. Suponga que $U$ $D$ tienen el mismo finito dimensión de Krull.

Por supuesto, en general, una irreductible (=primer elemento de $U$ puede convertirse en reducible en $D$.

Mi pregunta: ¿Qué se puede decir acerca de dichos pares de dominios con la propiedad adicional de que cada elemento irreductible de $U$ permanece irreductible en $D$?

Alguna idea de cómo responder a mi pregunta va a ser apreciado.

Edit: Si mi anterior pregunta es demasiado general, a continuación, deseo hacer la siguiente pregunta (sin asumir la propiedad adicional): Dado un elemento irreductible $u \in U$, se puede encontrar un "buen" criterio que garantiza que $u$ permanece irreductible en $D$?

Answer 1

Esto no obliga a $D$ ser una UFD ya que originalmente pedido, aquí es un contraejemplo. Tomar $U = \mathbb{Z}{(2)}$ y $D = \mathbb{Z}{(2)}[X]/(X^2 - 8)$. Entonces $U$ es un DVR y su primer solamente distinto a cero es $(2)$.

Un fácil cálculo muestra que todas las unidades en $D$ $a + bX$, donde $a$ es una unidad en $U$. Esto no es difícil mostrar que $2$ uso sigue siendo irreducible.

Pero claramente tenemos $$ 2 ^ 3 = 8 = X \cdot X $$ $D$, que $D$ no es una UFD.