Para el primero, consideremos el mapa lineal $\tau(t) = -1+2t$ . Entonces $\tau$ es una biyección de $[0,1]$ a $[-1,1]$ . Si $v \in V$ entonces $v \circ \tau \in W$ y, de forma similar, si $w \in W$ entonces $w \circ \tau^{-1} \in V$ . Por lo tanto, $\Phi_1: V \to W$ definido por $\Phi_1(v) = v \circ \tau$ es un isomorfismo.
Para el segundo, considere $\Phi_2: V \to W$ , $\Phi_2(v)(t) = \int_0^t v(\tau) d \tau$ . Observamos que $\Phi_2^{-1}(w)(t) = w'(t)$ .
Para el tercero, considere $\Phi_3: V \to W$ , $\phi_3(v)(t) = v_1 \cos t + v_2 \sin t$ . Observamos que $\Phi_3^{-1}(w)(t) = (w(0), w'(0))^T$ .
En cuanto a la cuarta, hay que tener en cuenta que $\dim \mathbb{R}^4 = 4$ y $\dim C[0,1] = \infty$ por lo que no puede existir ningún isomorfismo. Para demostrarlo, supongamos $\Phi_4: V \to W$ es un isomorfismo. Nótese que $\{ t \mapsto t^k \}_{k=0}^\infty\subset C[0,1]$ es linealmente independiente, y dejemos que $v_k = \Phi_4^{-1} ( t \mapsto t^k )$ . Sin embargo, como $\dim \mathbb{R}^4 = 4$ debe existir $\beta \neq 0$ para que $\sum_{k=1}^5 \beta_k v_k = 0$ . Sin embargo, esto implicaría que $\Phi_4(\sum_{k=1}^5 \beta_k v_k) = \sum_{k=1}^5 \beta_k \Phi_4(v_k) = 0$ , lo cual es una contradicción.
En cuanto a la quinta, hay que tener en cuenta que $\mathbb{P}$ tiene una base contable (Hamel) ( $\{ t \mapsto t^k \}_{k=0}^\infty$ ), pero $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ no tiene base contable. Para ver por qué $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ no tiene una base contable, observe que $l_\infty \subset \mathbb{R}^\mathbb{N}$ y $l_\infty$ no es separable. Si $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ tenía una base contable, entonces como $\mathbb{Q}^k$ es denso en $\mathbb{R}^k$ se deduce que $l_\infty$ era separable. Dado que cualquier isomorfismo asignaría una base a una base, se deduce que no existe tal isomorfismo.
Anexo : Mostrar por qué no puede existir ningún isomorfismo para la quinta:
Supongamos que dicho isomorfismo existe, llámalo $\Phi_5$ . Tenga en cuenta que ${\cal P}(\mathbb{N}) = \{A \}_{A \subset \mathbb{N}}$ es incontable, y que $B=\{1_A\}_{A \in {\cal P}(\mathbb{N})}$ . Tenga en cuenta que $B \subset l_\infty \subset \mathbb{R}^\mathbb{N}$ y $\|1_A\|_\infty \le 1$ y $\|1_A-1_{A'}\|_\infty = 1$ siempre que $A \neq A'$ .
Ahora dejemos que $R = \Phi_5^{-1} B \subset \mathbb{P}$ . Dejemos que $\mathbb{P}^n = \{ p \in \mathbb{P}| \partial P \le n \}$ y observe que $\mathbb{P} = \cup_n \mathbb{P}^n$ . Desde $R$ es incontable, el conjunto $R_n = R \cap \mathbb{P}^n$ debe ser incontable para algunos $n$ .
Tenga en cuenta que $\mathbb{P}^n$ es de dimensión finita, y dejemos que $S$ sea el subespacio $S = \mathbb{P}^n \cap \Phi_5^{-1} l_\infty $ . $S$ también es de dimensión finita, y $R_n \subset S$ . Definir una norma sobre $S$ por $\|p\|_S = \|\Phi_5 p\|_\infty$ . Tenga en cuenta que para todos los $p \in R_n$ tenemos $\|p\|_S \le 1$ y para todos $q \in R_n$ tal que $q \neq p$ tenemos $\|p-q\|_S = 1$ .
Sin embargo, como la bola unitaria en $S$ es compacta, cualquier secuencia $r_n \in B$ debe tener una subsecuencia $r_{n_k}$ que converge a un punto de acumulación $\hat{r}$ y como la subsecuencia debe ser Cauchy, debemos tener $\|r_{n_k}-r_{n_l}\|_S < \frac{1}{2}$ para $k,l$ suficientemente grande, lo cual es una contradicción.
