¿Es cierto que?
PS
Fue una de mis tareas. ¡Gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Este cálculo puede parecer un poco rotonda, pero refleja con exactitud mis procesos de pensamiento (también conocido como dirigida a juguetear!) en la resolución del problema.
Comenzar con la serie de Maclaurin $$\ln(1+x)=\sum_{n\ge 1}(-1)^{n+1}\frac{x^n}n\;,$$ which is valid for $-1<x\le 1$, and set $x=1$:
$$\begin{align*} \ln 2&=\sum_{n\ge 1}\frac{(-1)^{n+1}}n\\ &=1-\frac12+\frac13-\frac14\pm\ldots\\ &=\left(1-\frac12\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\left(\frac15-\frac16\right)+\ldots\\ &=\sum_{n\ge 1}\left(\frac1{2n-1}-\frac1{2n}\right)\\ &=\sum_{n\ge 1}\frac1{2n(2n-1)}\;. \end{align*}$$
La serie en que el problema es
$$\begin{align*} \frac12+\frac1{1\cdot2\cdot3}+\frac1{3\cdot4\cdot5}+\frac1{5\cdot6\cdot7}+\ldots&=\frac12+\sum_{n\ge 1}\frac1{(2n-1)(2n)(2n+1)}\\ &=\frac12+\sum_{n\ge 1}\left(\frac1{2n(2n-1)}\cdot\frac1{2n+1}\right)\\ &=\frac12+\sum_{n\ge 1}\frac1{2n(2n-1)}\left(1-\frac{2n}{2n+1}\right)\\ &=\frac12+\sum_{n\ge 1}\frac1{2n(2n-1)}-\sum_{n\ge 1}\left(\frac1{2n(2n-1)}\cdot\frac{2n}{2n+1}\right)\\ &=\frac12+\sum_{n\ge 1}\frac1{2n(2n-1)}-\sum_{n\ge 1}\frac1{(2n-1)(2n+1)}\\ &=\frac12+\sum_{n\ge 1}\frac1{2n(2n-1)}-\frac12\sum_{n\ge 1}\left(\frac1{2n-1}-\frac1{2n+1}\right)\;. \end{align*}$$
Ahora note que $$\sum_{n\ge 1}\left(\frac1{2n-1}-\frac1{2n+1}\right)$$ telescopios, por lo que se puede evaluar fácilmente; hacer eso, y vas a tener el resultado deseado. (También tiene que justificar las diversas manipulaciones que reorganizar los términos de la serie en el último tiempo de cálculo, pero que no es un problema: todo lo que el cálculo es absolutamente convergente.)
