Como en el OP, dejemos A=(a1,a2,…,an) sea una base triangular para a y que B=(b1,b2,…,bn) sea una base triangular para b . Utilizamos una variante unilateral del procedimiento clásico de eliminación gaussiana (no sé si ya tiene nombre).
Las operaciones sobre las columnas de una matriz corresponden a multiplicaciones por la derecha de ciertas matrices. El hecho fundamental es el siguiente: si (rij) es un n×n matriz y M es un n×n matriz escrita en columnas M=[M1|M2|…|Mn] ,
[M1|M2|…|Mn]×(rij)=[n∑i=1ri1Mi|n∑i=1ri2Mi|…|n∑i=1rn1Mi]
De (2) se deduce que dos bases son triangulares superiores entre sí si existe una matriz de multiplicación derecha triangular inferior (¡no superior!) que las relaciona. En particular, existe una matriz triangular inferior (¡no superior!) n×n matriz A tal que
[aa1|aa2|…|aan]=[a1|a2|…|an]A
También se deduce de (2) que si Pσ es la matriz de permutación cuyas columnas son uσ(1),uσ(2),…uσ(n) para algunos σ∈Sn (donde (u1,…,un) es la base canónica de Cn )
[M1|M2|…|Mn]Pσ=[Mσ(1)|Mσ(2)|…|Mσ(n)]
Teniendo en cuenta (2), dejemos que C sea la única matriz invertible que satisface
[a1|a2|…|an]=[b1|b2|…|bn]C
Ahora reducimos C a una especie de forma escalonada :
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Desde C es invertible, hay algún índice j1 tal que c1j1≠0 . Tome el más grande de estos j1 . A continuación, mediante operaciones de columna (multiplicar el j1 -Columna de 1ci11 y luego usar esa columna como pivote para hacer que todos los demás coeficientes de la primera fila sean cero. Tenga en cuenta que los coeficientes a la derecha de c1j1 ya son cero y no es necesario cambiarlas), existe una matriz triangular inferior L1 (de hecho, un producto de una matriz diagonal y algunas transvecciones) tal que la primera fila de CL1 es uj1 .
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Desde CL1 es invertible, hay algún índice j2 de manera que el (2,j2) Coeficiente de CL1 es distinto de cero. Por construcción j2≠j1 . Tome el más grande de estos j2 . Entonces, utilizando las operaciones de fila, hay una matriz triangular inferior L2 (de hecho, un producto de una matriz diagonal y algunas transvecciones) tal que las dos primeras filas de CL1L2 son uj1,uj2 .
Continuando así, finalmente obtenemos una matriz triangular inferior e invertible L tal que CL=Pσ−1 para algunos σ∈Sn . A continuación, defina una nueva base (e1,…,en) por
[e1|e2|…|en]=[a1|a2|…|an]L=[b1|b2|…bn]CL by (5)=[b1|b2|…bn]Pσ−1=[bσ−1(1)|bσ−1(2)|…|bσ−1(n)] by (4).
Aplicando a en ambos lados de la primera desigualdad en (6), tenemos
[ae1|ae2|…|aen]=[aa1|aa2|…|aan]L=[a1|a2|…an]AL=[e1|e2|…en]L−1AL La matriz L−1AL es triangular inferior ya que es un producto de matrices triangulares inferiores. Por (2), vemos entonces que (e1,e2,…,en) es una base triangular para a . Por otro lado, (eσ(1),eσ(2),…,eσ(n))=(b1,b2,…,bn) para que b es triangular en esta base también, como se desea.
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Claro, gracias por eso. Es un poco difícil pensar en la inducción. Prefiero mirar a encontrar/construir el ei en sí mismo. Ah, sí, +1 .
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@ Sí, no creo que la inducción funcione. Estoy pensando en una construcción directa como has dicho. Gracias.