Dos matrices cuadradas complejas cualesquiera son triangulables en la misma base, aunque quizás en órdenes diferentes

Question

Dejemos que $E$ sea un espacio vectorial de dimensión finita en $\mathbb C$ . Tome cualquier $a$ , $b$ endomorfismos de $E$ .

Demostrar que existe una base $(e_1, ... e_n)$ y una permutación $\sigma$ tal que la matriz de $a$ en $(e_1, ... e_n)$ y la matriz de $b$ en $(e_{\sigma(1)}, ... ,e_{\sigma(n)})$ son triangulares superiores.

Aquí algunas reflexiones.

La inducción no parece apropiada.

Dejemos que $(a_1, ... a_n)$ sea una base triangular para $a$ y $(b_1, ... b_n)$ sea una base triangular para $b$ .

El primer paso es fácil: tomar $a_1$ como $e_1$ que es un vector propio de $a$ y $b_1$ un vector propio de $b$ .

Se puede elegir $i$ tal que $b_1 = e_i$ eligiendo $i \neq 1$ mínimo.

Entonces $Vect(e_1, a_2, ... , a_{i-1}, e_i) \cap Vect(b_2,...b_n) \neq$ $\{0_E\}$

Así que dejemos $x$ en esta intersección.

$x$ puede ser colineal a $e_1$

...

Answer 1

Como en el OP, dejemos ${\cal A}=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ sea una base triangular para $a$ y que ${\cal B}=(b_1,b_2,\ldots,b_n)$ sea una base triangular para $b$ . Utilizamos una variante unilateral del procedimiento clásico de eliminación gaussiana (no sé si ya tiene nombre).

Las operaciones sobre las columnas de una matriz corresponden a multiplicaciones por la derecha de ciertas matrices. El hecho fundamental es el siguiente: si $(r_{ij})$ es un $n\times n$ matriz y $M$ es un $n\times n$ matriz escrita en columnas $M=[M_1|M_2|\ldots|M_n]$ ,

$$[M_1|M_2|\ldots|M_n]\times (r_{ij})=\Bigg[ \sum_{i=1}^n r_{i1}M_i \Bigg| \sum_{i=1}^n r_{i2}M_i \Bigg| \ldots \Bigg| \sum_{i=1}^n r_{n1}M_i \Bigg] \tag{2}$$

De (2) se deduce que dos bases son triangulares superiores entre sí si existe una matriz de multiplicación derecha triangular inferior (¡no superior!) que las relaciona. En particular, existe una matriz triangular inferior (¡no superior!) $n\times n$ matriz $A$ tal que

$$[aa_1|aa_2|\ldots|aa_n]=[a_1|a_2|\ldots|a_n]A \tag{3}$$

También se deduce de (2) que si $P_{\sigma}$ es la matriz de permutación cuyas columnas son $u_{\sigma(1)},u_{\sigma(2)}, \ldots u_{\sigma(n)}$ para algunos $\sigma \in {\mathfrak S}_n$ (donde $(u_1,\ldots,u_n)$ es la base canónica de ${\mathbb C}^n$ )

$$[M_1|M_2|\ldots|M_n] P_{\sigma}=\Big[ M_{\sigma(1)}\Big| M_{\sigma(2)}\Big| \ldots\Big| M_{\sigma(n)} \Big] \tag{4}$$

Teniendo en cuenta (2), dejemos que $C$ sea la única matriz invertible que satisface

$$[a_1|a_2|\ldots|a_n]=[b_1|b_2|\ldots|b_n]C \tag{5}$$

Ahora reducimos $C$ a una especie de forma escalonada :

• Desde $C$ es invertible, hay algún índice $j_1$ tal que $c_{1j_1}\neq 0$ . Tome el más grande de estos $j_1$ . A continuación, mediante operaciones de columna (multiplicar el $j_1$ -Columna de $\frac{1}{c_{i_11}}$ y luego usar esa columna como pivote para hacer que todos los demás coeficientes de la primera fila sean cero. Tenga en cuenta que los coeficientes a la derecha de $c_{1j_1}$ ya son cero y no es necesario cambiarlas), existe una matriz triangular inferior $L_1$ (de hecho, un producto de una matriz diagonal y algunas transvecciones) tal que la primera fila de $CL_1$ es $u_{j_1}$ .

• Desde $CL_1$ es invertible, hay algún índice $j_2$ de manera que el $(2,j_2)$ Coeficiente de $CL_1$ es distinto de cero. Por construcción $j_2\neq j_1$ . Tome el más grande de estos $j_2$ . Entonces, utilizando las operaciones de fila, hay una matriz triangular inferior $L_2$ (de hecho, un producto de una matriz diagonal y algunas transvecciones) tal que las dos primeras filas de $CL_1L_2$ son $u_{j_1},u_{j_2}$ .

Continuando así, finalmente obtenemos una matriz triangular inferior e invertible $L$ tal que $CL=P_{\sigma^{-1}}$ para algunos $\sigma \in {\mathfrak S}_n$ . A continuación, defina una nueva base $(e_1,\ldots,e_n)$ por

$$\begin{array}{lcl} [ e_1 | e_2 | \ldots | e_n ] &=& [ a_1 | a_2 | \ldots | a_n]L \\ &=& [b_1|b_2|\ldots b_n]CL \textrm{ by } (5) \\ &=& [b_1|b_2|\ldots b_n]P_{\sigma^{-1}} \\ &=& [b_{\sigma^{-1}(1)}|b_{\sigma^{-1}(2)}| \ldots |b_{\sigma^{-1}(n)}] \textrm{ by } (4). \\ \end{array}\tag{6}$$

Aplicando $a$ en ambos lados de la primera desigualdad en (6), tenemos

$$\begin{array}{lcl} [ ae_1 | ae_2 | \ldots | ae_n ] &=& [ aa_1 | aa_2 | \ldots | aa_n]L \\ &=& [a_1|a_2|\ldots a_n]AL \\ &=& [e_1|e_2|\ldots e_n]L^{-1}AL \\ \end{array}\tag{7}$$ La matriz $L^{-1}AL$ es triangular inferior ya que es un producto de matrices triangulares inferiores. Por (2), vemos entonces que $(e_1,e_2,\ldots,e_n)$ es una base triangular para $a$ . Por otro lado, $(e_{\sigma(1)},e_{\sigma(2)},\ldots,e_{\sigma(n)})=(b_1,b_2,\ldots,b_n)$ para que $b$ es triangular en esta base también, como se desea.