¿Dónde me encuentro mal en derivar la fórmula del volumen del cono?

Question

Yo estaba derivando la fórmula de cono de volumen de ayer, pero me he quedado atrapado en un lugar.Mi razón para pedir ayuda en Matemáticas se es porque no la estaba haciendo por buscar en algún libro o en internet.Por eso,quisiera su ayuda para saber donde mi pensamiento se fue mal.

Mi intento:

En un cono recto circular con radio de la base $r$ y la altura de la $h$,ambos van cambiando a medida que nos movemos hacia arriba.Así que,mis integral debe tener en cuenta el cambio de la altura (de $0$ para completar la longitud de la $h$) y cambio de radio (de radio de la base $r$ $0$en el ápice.)

Por lo que $$\begin{align} V_{cone} & =\int_r^0\int_0^h\pi r^2 dr \space dh \\ & =\int_r^0\pi r^2 dr \cdot \int_0^h\pi r^2 dh \end{align}$$

En la primera integral estoy tratando $r$ como una variable, pero en la segunda integral estoy tratando como una constante.

La solución de este no cede la fórmula $V_{cone}=\frac13\pi r^2h$.

Donde he cometido un error?

Answer 1

Lo que usted está calculando tiene unidad de $\text{length}^4$, por lo que no puede ser de volumen. De dónde salió mal es : $h$ $r$ están relacionados a través de $r=h\tan\alpha$ donde $\alpha=$ la mitad del ángulo en el vértice. Si el radio de la base es $R$ y la altura de la base del vértice es $H,$

el volumen es

$$ \int_0^H\pi r^2dh=\int_{0}^H\pi\tan^2\alpha \,h^2dh={1\over3}\pi\tan^2\alpha H^3=\frac13\pi {R^2\sobre H^2}H^3={1\over3}\pi R^2H $$ como $R=H\tan\alpha$.

Si desea directo de uso de la integración de la triple integral $$ \int_0^{2\pi}\int_0^R\int_{r\cuna\alpha}^H rdh\,dr\,d\theta={\pi\over3}R^2H $$

Answer 2

La mejor manera a este problema es en términos de una integral de una variable. Que $H, R$ ser la altura constante y el radio de la base de su cono, respectivamente. Los radios de las secciones transversales circulares que hacen que se mueven el $y$ eje de la cono varía linealmente entre $R$y $0$. Convencerse de que un $y$ $0\leq y \leq H$ que el radio de la Cruz sección $R_c$ $y$ Dónde está $$R_c(y) = \frac{R(H-y)}{H}$$ because when $y = 0 $ (bottom of the cone) we have radius $R $, and at $y = H$ (top of the cone) then we get radius $0$. This means the area of such a cross section is simply $\pi R_c (y) ^ 2$. Simply integrate $% $ $\int_0^H \pi R_c(y)^2 \text{d}y$para obtener su resultado.

Answer 3

Hay dos cosas que están haciendo mal, creo.

En la elección de una integral doble y la integración de dos veces. Vamos a pensar acerca de lo que estamos calculando. La primera integral se están integrando las áreas de un montón de círculos como r va de 0 a h. Este será el volumen de una "pila" de los círculos. En esencia, es el volumen de un cono, donde la altura es igual al radio expresado en términos de h. La segunda integral parece ser una constante $r$ (que coincidencia es volver a escribir el mismo que el de la variable en la primera integral, pero que no puede referirse a la primera variable como la primera variable se ha "integrado") y calcular a partir de la 0 a r el hyper-volumen de un conjunto de cuatro dimensiones embalado conos los conos, que varían en altura desde 0 hasta r.

El segundo error es en la evaluación de la integral doble que parecen tener sólo repite lo que va a integrar, $\pi r^2$ dos veces. Yo ... no entiendo por qué hizo eso, así que realmente no puedo comentar sobre eso.

Para integrar correctamente necesitamos configurarlo adecuadamente. Queremos integrar a las áreas de los círculos en términos de h como h va de 0 a $H$ ($H$ = la Altura final). es decir, $\int_0^H A_h dh$ donde $A_h$ es el área del círculo a la altura de la $h$.

A la altura = $h$, donde estamos $h/H$ de la forma del cono, la radio de ese círculo se $r = (h/H)*R$ donde $R$ es el radio final.

Ahora nos podría hacer una segunda integral para determinar el $A_h = \int_0^{hR/H} 2\pi r \space dr$, es decir, el área de un círculo es la infinita suma de los perímetros pero... vamos, sabemos que el área del círculo; es $\pi r^2$ y $r = hR/H$ tenemos:

Área de Cono = $\int_0^H \pi (hR/H)^2 dh = \pi (R^2/H^2)\int_0^H h^2\space dh$

Lo que si tenemos ¿ quieres hacer una integral doble sería el mismo:

Área de Cono = $\int_0^H \int_0^{hR/H} 2\pi r\space dr\space dh$.

Si usted trabaja fuera usted debe obtener el área de un cono.