El primer función de conteo de límite

Question

¿Cómo puedo obtener las desigualdades que la primer función de conteo si tengo las desigualdades siguientes funciones $f(x)$ y $g(x)$: $$ g(x)

Answer 1

Definir: $$\psi(x) = \sum_{n \le x} \Lambda(n) = \sum_{p^k \le x} \ln p$$ $$\theta(x) = \sum_{p \le x} \ln p$$ $$\pi(x) = \sum_{p \le x} 1$$

Vamos a comparar el $\psi$$\theta$$\theta$%#%.

• $\pi$. Así, en la suma único que nos importa de los números primos que se encuentran en la mayoría de los $\psi(x) - \theta(x) = \sum_{p^k \le x, k\ge 2} \ln p$. Cada uno de estos prime $\sqrt{x}$ aparece en la suma de $p$ de veces, así que podemos escribir de la siguiente manera: $\lfloor \frac{\ln x}{\ln p} \rfloor -1$$

Ahora hay un par de opciones:

yo. Podemos obligado cada término de arriba por $$\psi(x) -\theta(x) = \sum_{p \le \sqrt{x}} \ln p (\lfloor \frac{\ln x}{\ln p} \rfloor -1)$, por lo que $\ln x$$$0 \le \psi(x) - \theta(x) \le \pi(\sqrt{x}) \ln x$\pi(\sqrt{x}) \le \sqrt{x}$ And then use the trivial bound $\psi(x) - \theta(x) \le \sqrt{x}\ln x$.

ii. Similar a la que yo, pero el uso de la Chebyshev enlazado $ bound, to find $ a probar $\pi(\sqrt{x}) = O(\frac{\sqrt{x}}{\ln x})$ (con constante de alrededor de 2).

iii. Una mayor participación del argumento muestra que la constante real es de alrededor de 1: Bound cada término por $\psi(x) - \theta(x) = O(\sqrt{x})$, por lo que la diferencia se convierte en $\ln x - \ln p$, el cual se comporta como $\ln x \pi(\sqrt{x}) - \theta(\sqrt{x})$.

• Para entender la relación entre los $\ln x \frac{\sqrt{x}}{\ln \sqrt{x}} - \sqrt{x} \sim \sqrt{x}$ $\pi$ necesitamos Abel Suma aplicado a $\theta$. Como $a_n = 1_{n \text{ is prime}}, b_n = \log n$, podemos encontrar: $\theta(x) = \sum_{n \le x} a_n b_n$$ $$\theta(m) = (\sum_{n \le m} a_n) b_{m} - \sum_{n < m} (b_{n+1}-b_{n}) (\sum_{i \le n} a_n) =$$ (He trabajado con $$\pi(m) \ln m - \sum_{n < m} \ln(1 + \frac{1}{n}) \pi(n)$ integer, pero es cierto que en general, hasta algunos pequeños término de error.)

Para acotar la última suma, tenga en cuenta que $m$ (es bastante ajustado para un gran $0 \le \ln(1+\frac{1}{n}) \le \frac{1}{n}$), por lo $n$.

yo. El trivial obligado es $0 \le \sum_{n < m} \ln(1 + \frac{1}{n}) \pi(n) \le \sum_{n < m} \frac{\pi(n)}{n}$, que sigue a la forma $m$.

ii. Más complejo es $\pi(x) \le x$ (constante alrededor de la 1), basado en el $O(\sum_{n < m} \frac{1}{\ln n}) = O(\frac{m}{\ln m})$, que es la base de Chebyshev de las estimaciones.

Todos en todos, $\pi(x) = O(\frac{x}{\ln x})$, lo $\psi(x) = \pi(x) \ln x + O(\frac{x}{\ln x})$. Precisa los términos de error depende de lo que estás assumeing, pero creo que la constante de la $g(x) < \psi(x) < f(x) \implies \frac{g(x)+O(\frac{x}{\ln x})}{\ln x} < \pi(x) < \frac{f(x)+O(\frac{x}{\ln x})}{\ln x}$ es de alrededor de $O()$.

Answer 2

El capítulo 5 de este libro contiene un buen tutorial de el teorema de Chebyshev (y el teorema de los números primos) que utiliza nada más que elemental de la teoría de números y combinatoria técnicas para alcanzar dichos límites.