Límite superior para la norma del operador en el teorema de interpolación de Marcinkiewicz

Question

Ejercicio 1.3.3(c) Sea $0<p_0<p<p_1<\infty$ y que $T$ sea un operador como en el Teorema 1.3.2( $\|T(f)\|_{L^{p_0,\infty}(Y)}\leq A_0\|f\|_{L^{p_0}(X)}$ para todos $f\in L^{p_0}(X)$ y $\|T(f)\|_{L^{p_1,\infty}(Y)}\leq A_1\|f\|_{L^{p_1}(X)}$ para todos $f\in L^{p_1}(X)$ ) que también satisface $|T(f)|\leq T(|f|)$ para todos $f\in L^{p_0}+L^{p_1}$ .

(c) Cuando $0<p_0<p_1<\infty$ entonces la norma de $T$ de $L^p$ a $L^p$ es como máximo

\[\min_ {0< \lambda <1}p^{ \frac {1}{p}} \left ( \frac {B(p-p_0,p_0+1)}{(1- \lambda )^{p_0}}+ \frac { \frac {p_1-p+1}{p_1-p}{ \lambda ^{p_1}} \right )^{ \frac {1}{p}}A_0^{ \frac {1/p-1/p_1}{1/p_0-1/p_1}}A_1^{ \frac {1/p_0-1/p}{1/p_0-1/p_1}}\]

donde $B(s,t)$ es la función Beta. [Pista: Cuando $p_1<\infty$ escribir $f=f_0+f_1$ , donde $f_0=f-\delta\alpha$ cuando $f\geq\delta\alpha$ y cero en caso contrario. Utilice que $|\{|T(f)|>\alpha\}|\leq|\{|T(f_0)|>(1-\lambda)\alpha\}|+|\{|T(f_1)|>\lambda\alpha\}|$ y optimizar sobre $\delta>0$ .]

MI INTENTO: De la pista, $f_0=\max(f-\delta\alpha,0)$ y $f_1=\min(f,\delta\alpha)$ . Tenemos \begin{align*} & d_{T(f)}(\alpha)\leq d_{T(f_0)}((1-\lambda)\alpha)+d_{T(f_1)}(\lambda\alpha)\\ \leq&\left(\frac{A_0}{(1-\lambda)\alpha}\right)^{p_0}\|f_0\|_{L^{p_0}}^{p_0}+\left(\frac{A_1}{\lambda\alpha}\right)^{p_1}\|f_1\|_{L^{p_1}}^{p_1}\\ =&\left(\frac{A_0}{(1-\lambda)\alpha}\right)^{p_0}\int_{f\leq\delta\alpha}(f-\delta\alpha)^{p_0}d\mu+\left(\frac{A_1}{\lambda\alpha}\right)^{p_1}\left[\int_{f>\delta\alpha}(\delta\alpha)^{p_1}d\mu+\int_{f\leq\delta\alpha}f^{p_1}d\mu\right] \end{align*} Por lo tanto, \begin{align*} &\|T(f)\|_{L^p}^p=\int_0^\infty p\alpha^{p-1}d_{T(f)}(\alpha)d\alpha\\ \leq&\left(\frac{A_0}{1-\lambda}\right)^{p_0}\int_0^\infty p\alpha^{p-p_0-1}\int_{f\leq\delta\alpha}(f-\delta\alpha)^{p_0}d\mu d\alpha\\ &+\left(\frac{A_1}{\lambda}\right)^{p_1}\left[\int_0^\infty p\alpha^{p-1}\int_{f>\delta\alpha}\delta^{p_1}d\mu d\alpha+\int_0^\infty p\alpha^{p-p_1-1}\int_{f\leq\delta\alpha}f^{p_1}d\mu d\alpha \right]\\ =&\frac{pA_0^{p_0}}{(1-\lambda)^{p_0}}\int_X\int_0^{f/\delta}f^{p_0}(1-\alpha\cdot\frac{\delta}{f})^{p_0}(\alpha\cdot\frac{\delta}{f})^{p-p_0-1}d(\alpha\cdot\frac{\delta}{f})(\frac{f}{\delta})^{p-p_0}d\mu\\ &+\left(\frac{A_1}{\lambda}\right)^{p_1}\left[\int_X\int_{f/\delta}^\infty p\alpha^{p-1}\delta^{p_1}d\alpha d\mu+\int_X f^{p_1}\int_{f/\delta}^\infty p\alpha^{p-p_1-1}d\alpha d\mu\right]\\ =&\frac{pA_0^{p_0}}{(1-\lambda)^{p_0}}\delta^{p_0-p}\|f\|_{L^p}^pB(p_0+1,p-p_0)+\frac{A_1^{p_1}}{\lambda^{p_1}}\left[\delta^{p_1-p}\|f\|_{L^p}^p+\frac{p}{p_1-p}\delta^{p_1-p}\|f\|_{L^p}^p\right]\\ =&\frac{pA_0^{p_0}}{(1-\lambda)^{p_0}}\delta^{p_0-p}\|f\|_{L^p}^pB(p_0+1,p-p_0)+\frac{p_1A_1^{p_1}}{(p_1-p)\lambda^{p_1}}\delta^{p_1-p}\|f\|_{L^p}^p \end{align*} al optimizar $\delta$ tomando las derivadas de $\delta$ No puedo concluir el resultado.

Answer 1

Por lo tanto, como he indicado en mis comentarios anteriores, termino con la misma expresión que implica $\lambda$ y $\delta$ Sin embargo, no he podido llegar a la expresión del enunciado del ejercicio. Aquí está mi intento en el paso de optimización.

Definir una función de $\varphi=\varphi(\delta)$ por $$\varphi(\delta):=\dfrac{pA_{0}^{p_{0}}}{(1-\lambda)^{p_{0}}}B(p_{0}+1,p-p_{0})\delta^{p_{0}-p}+\dfrac{p_{1} A_{1}^{p_{1}}}{(p_{1}-p)\lambda^{p_{1}}}\delta^{p_{1}-p}$$ Por comodidad, escribamos $B=B(p_{0}+1,p-p_{0})$ . Diferenciación y puesta a cero, $$0=\varphi'(\delta)=\dfrac{p(p_{0}-p) A_{0}^{p_{0}}}{(1-\lambda)^{p_{0}}}B\delta^{p_{0}-p-1}+\dfrac{p_{1}A_{1}^{p_{1}}}{\lambda^{p_{1}}}\delta^{p_{1}-p-1}$$ Así que el punto crítico, que se puede comprobar es un mínimo, es $$\delta=\left(\dfrac{p (p-p_{0})A_{0}^{p_{0}}B\lambda^{p_{1}}}{p_{1}A_{1}^{p_{1}}(1-\lambda)^{p_{0}}}\right)^{1/(p_{1}-p_{0})}$$

Utilizando el hecho de que elegimos $\delta$ para que $$\dfrac{p(p-p_{0})A_{0}^{p_{0}}B}{(1-\lambda)^{p_{0}}}\delta^{p_{0}-p}=\dfrac{p_{1}A_{1}^{p_{1}}}{\lambda^{p_{1}}}\delta^{p_{1}-p},$$ vemos que \begin{align*} \varphi(\delta)&=\dfrac{p(p-p_{0})A_{0}^{p_{0}}B}{(1-\lambda)^{p_{0}}}\delta^{p_{0}-p}\left[\dfrac{1}{p-p_{0}}+\dfrac{1}{p_{1}-p}\right]\\ & \\ &=A_{0}^{p_{0}\frac{p_{1}-p}{p_{1}-p_{0}}}A_{1}^{p_{1}\frac{p-p_{0}}{p_{1}-p_{0}}}p^{\frac{p_{1}-p}{p_{1}-p_{0}}}p_{1}^{\frac{p-p_{0}}{p_{1}-p_{0}}}(p-p_{0})^{\frac{p_{1}-p}{p_{1}-p_{0}}}\dfrac{B^{\frac{p_{1}-p}{p_{1}-p_{0}}}}{(1-\lambda)^{p_{0}\frac{p_{1}-p}{p_{1}-p_{0}}}\lambda^{p_{1}\frac{p-p_{0}}{p_{1}-p_{0}}}}\left[\dfrac{1}{p-p_{0}}+\dfrac{1}{p_{1}-p}\right] \end{align*} Tomando $p^{th}$ raíces, reconozco las expresiones deseadas que implican $A_{0}$ y $A_{1}$ , pero no veo cómo conseguir que el factor que implica la suma.