Tengo que resolver la siguiente EDP no lineal: $$\partial_t u(x,t)=ku(x,t)^2 \partial_{xx}u(x,t)$$ donde $k$ es una constante con $k>0$ .
¿Es posible encontrar alguna simetría en esta ecuación que pueda ayudar a resolverla? Gracias de antemano.
Respuestas
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Hay al menos 3 tipos de soluciones especiales relacionadas con alguna noción de simetría que podrías considerar.
1) Soluciones en variables separadas: $u(x,t)=X(x)T(t)$ . Esto lleva a $$ k\,XX''=\frac{T'}{T^3}=\lambda\quad\text{constant.} $$ Las EDOs resultantes se pueden resolver y se obtiene una familia de soluciones.
2) Soluciones de ondas viajeras: $u(x,t)=\phi(x-c\,t)$ , $c\in\mathbb{R}$ . La ecuación resultante en $\phi$ es de nuevo solucionable: $$ -c\,\phi'=k\,\phi^2\phi''. $$
3) Soluciones autosimilares de la forma $u(x,t)=t^{\alpha/2} v(x\,t^{-(\alpha+1)/2})$ . Entonces $v=v(\xi)$ satisface la EDO $$ \frac{\alpha}{2}\,v-\frac{\alpha+1}{2}\,\xi\,v'=k\,v^2v''. $$
En cuanto a la posibilidad de obtener una solución general, no soy muy optimista.
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Puntos
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Se trata de una EDP bien estudiada con respecto al método de análisis de simetrías. Puedes encontrar muchos artículos en google scholar sobre ella. Para su conveniencia aquí están sus simetrías del punto de Lie:
\begin{array}{l} \mathfrak X_1 = \partial _x \\ \mathfrak X_2 = \partial _t \\ \mathfrak X_3 = u\partial _u+x\partial _x \\ \mathfrak X_4 = 2 t\partial _t-u\partial _u \\ \end{array} Hacer una conexión con las reducciones/ ansatzes propuesto por Julián Aguirre, el tercero está relacionado con la simetría $(\alpha+1)\mathfrak X_3+\mathfrak X_4$ el segundo con la simetría $c\mathfrak X_1+\mathfrak X_2$ y en cuanto a la primera es la $-2c\mathfrak X_2+\mathfrak X_4$ cuando $\lambda\ne0$ y el $\mathfrak X_2$ cuando $\lambda=0$ .
