Grado de una extensión de campo en comparación con el grupo de Galois

Question

Considere$K=\mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$: creo que$K$ es Galois ya que es el campo de división de$(x-\sqrt 2)(x+\sqrt 2)(x-\sqrt 3)(x+\sqrt 3)$. Siento que$G(K/F)$ es isomorfo para el grupo de Klein 4 ya que puedes intercambiar$\pm\sqrt{2}$,$\pm\sqrt{3}$ o ambos (ya que las raíces no tienen relación F). Pero como$K$ es Galois,$|G(K/F)|=[K:F]$ lo que significa$[K:F]=4$, lo que choca con mi intuición de que debería tener el grado tres (las unidades básicas son 1,$\sqrt{2}$,$\sqrt 3$).

¿Qué es lo que no entiendo?

Answer 1

Como campo, también debe cerrarse bajo la multiplicación, por lo que$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ también debe incluir$\sqrt{6}=\sqrt{2}\sqrt{3}$. Como$\sqrt{6}$ no es una combinación lineal racional de$\sqrt{2}$ y$\sqrt{3}$, el conjunto$ \{1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6} \}$ es linealmente independiente (más de$\mathbb{Q}$). Dado que este conjunto tiene$4=[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]$ elementos, de hecho forma una base.

Otra forma de ver esto es observando que$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{3})$ (adjunto$\sqrt{2}$ y luego adjuntando$\sqrt{3}$), para entonces$$ \mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{3}) = \{ \alpha + \beta\sqrt{3} : \alpha,\beta\in\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \}$ $$$ = \{ (a+b\sqrt{2}) + (c+d\sqrt{2})\sqrt{3} : a,b,c,d\in\mathbb{Q} \} $ $$$ = \{ a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6} : a,b,c,d\in\mathbb{Q} \} $PS