Convergencia de una secuencia de Cesaro

Question

Que ${an}{n=1}^{\infty}$ ser una secuencia tal que $ai\in[0,1]$ cada $i\in \mathbb{N}$ y Supongamos que $$\lim{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i = p.$ $

¿Hace $$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i^2$$ necessarily converge when $n # \to \infty$?

Claramente, el hecho de que $$\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n ai\right|\geqslant\left|\frac{1}{n} \sum{i=1}^n a_i^2\right|$$ is not enough, but together with the fact that the sequence $ a_n ^ 2 $ is the square of $ a_n$, ¿es suficiente?

Answer 1

No. Observar que $$\frac{1+0}2=\frac12=\frac{2/3+1/3}2$$ but $$\frac12=\frac{1^2+0^2}2\ne\frac{(2/3)^2+(1/3)^2}2=\frac5{18}.$$

Tome $(a_n)$ a ser una secuencia construido así: Un largo tramo de $1,0,1,0,\dots,1/0$, seguido por un largo tramo de $2/3,/1/3,\dots,2/3,1/3$, seguido por una secuencia más larga de la alternancia $1$s y $0$s seguido por una verdadera impresionantemente larga secuencia de la alternancia $2/3$s y $1/3$s, etc.

A continuación,$\frac1n\sum_1^n a_j\to1/2$, independientemente de cuánto tiempo nos tome la alternancia de subsecuencias. Pero no importa lo que has hecho hasta ahora, si añadimos una suficientemente larga secuencia de $1,0$ pares llegamos a un punto donde $\frac1n\sum_1^na_j^2$ está cerca de a $1/2$, y, a continuación, si añadimos una suficientemente larga secuencia de $2/3,1/3$ pares llegamos a un punto donde $\frac1n\sum_1^na_j^2$ está cerca de a $5/18$. A continuación, nos acercamos a $1/2$ nuevo y, a continuación, cierre a $5/18$ nuevo, etc, por lo $\frac1n\sum_1^na_j^2$ no converge.