¿Cómo solucionarlo?

Question

No tengo un problema con este límite, tengo idea cómo computarlo.
¿Puede explicar el método y los pasos utilizados?

$$\lim\limits_{x \to -\infty} \left(x\left(\sqrt{x^2-x}-\sqrt{x^2-1}\right)\right)$$

Answer 1

$$x\left(\sqrt{x^2-x}-\sqrt{x^2-1}\right)=\frac{x\left(\left(\sqrt{x^2-x}\right)^2-\left(\sqrt{x^2-1}\right)^2\right)}{\sqrt{x^2-x}+\sqrt{x^2-1}}$$

$$=\frac{x(1-x)}{\sqrt{x^2-x}+\sqrt{x^2-1}}$$

Ya que estamos buscando el límite como $x\to -\infty$, que $x

$$=\frac{\frac{1}{-x}(x(1-x))}{\sqrt{\frac{x^2}{(-x)^2}-\frac{x}{(-x)^2}}+\sqrt{\frac{x^2}{(-x)^2}-\frac{1}{(-x)^2}}}=\frac{x-1}{\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}\stackrel{x\to -\infty}\to -\infty$$

Porque $\sqrt{1-\frac{1}{x}}\stackrel{x\to -\infty}\to 1$ y $\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\stackrel{x\to -\infty}\to 1$ y $x-1\stackrel{x\to -\infty}\to -\infty$.

Answer 2

Este es el gráfico de $x(\sqrt{x^2-x}-\sqrt{x^2-1})$. Tiende a $-\infty$ como tiende a $x$ $-\infty$
Después de racionalizar
$L=\lim{x\to -\infty}\frac{x(1-x)}{\sqrt{x^2}(\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}})}=\lim{x\to -\infty}\frac{x(1-x)}{|x|(\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}})}$
$L=\lim{x\to -\infty}\frac{x(1-x)}{-x(\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}})}=\lim{x\to -\infty}\frac{(1-x)}{-(\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}})}=-\infty$
Porque cuando es negativo, $x$ $|x|=-x$, no $x$

Answer 3

El primer paso, siempre, es conseguir un poco de sonido intuición acerca de los límites. Usted puede dibujar un gráfico, pero es la máquina de cosas y puede ser engañoso. Sería mejor usar herramientas tú sabes, como la serie de Taylor. Aquí, los temas giran en torno a la plaza se pudre. La plaza se pudre son complicados, excepto alrededor de $1$, donde pueden ser linealizados. Así, factorizar, para obtener raíces cuadradas alrededor de $1$. Usted obtener:

$$ x |x| \left(\sqrt{1-\frac{1}{x}} - \sqrt{1-\frac{1}{x^2}} \right)\,.$$

Ahora, empezar a sospechar que el comportamiento podría ser de segundo orden con arreglo a las raíces. El uso de $\sqrt{1-u} \sim 1-\frac{1}{2}u+\frac{1}{8}u^2+O(u^3)$, se puede ver que $-\frac{1}{x}$ va a ganar:

$$\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}} - \sqrt{1-\frac{1}{x^2}} \right) \sim -\frac{1}{2x}+\frac{1}{8x^2}-\frac{1}{2x^2}+O\left(\frac{1}{x^3}\right)\,.$$

Su función es probable que se comportan, cerca de $\pm\infty$ $-\frac{|x|}{2}$ (que así matar dos pájaros con una sola piedra), por lo tanto el límite se $-\infty$.

Ahora usted puede utilizar muchas herramientas para continuar trainin su habilidad matemática, como la regla de L'Hospital. Una idea: dividir por $-\frac{x}{2}$, y probar el producto tiende a $1$. El más pruebas diferentes a encontrar, el más seguro de que se convertirá en el abordaje de nuevos problemas.

Answer 4

Usted puede hacer la sustitución de $x=-1/t$ que transforma el límite en \begin{align} \lim_{x \to -\infty} x\bigl(\sqrt{x^2-x}-\sqrt{x^2-1}\,\bigr) &= \lim_{t\to0^+}-\frac{1}{t}\left(\sqrt{\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t}}-\sqrt{\frac{1}{t^2}-1}\,\right)\\[6px] &= \lim_{t\to0^+}\frac{\sqrt{1-t^2}-\sqrt{1+t}}{t^2}\\[6px] &=\lim_{t\to0^+}\frac{1+o(t)-1-\frac{1}{2}t+o(t)}{t}\cdot\frac{1}{t}\\[6px] &=-\infty \end{align}

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Comentarios

La sustitución de $x=-1/t$ va a llevar el límite en forma de fracción, por lo general mas manejable que el de los productos como su forma inicial. Por qué no hacer las $x=1/t$? Porque tener un positivo "$t$ " contribuye a evitar errores a la hora de tirar de $t$ fuera de la raíz cuadrada.

Usted puede evitar la expansión de Taylor de la parte al darse cuenta de que $$ \lim_{t\to0^+}\frac{\sqrt{1-t^2}-\sqrt{1+t}}{t} $$ es la derivada en $0$ de $$ f(t)=\sqrt{1-t^2}-\sqrt{1+t} $$ y $$ f'(t)=-\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}-\frac{1}{2\sqrt{1+t}} $$ por lo $f'(0)=-\frac{1}{2}$.

Answer 5

$$\lim{x\to -\infty}x\left(\sqrt{x^2-x}-\sqrt{x^2-1}\right)$$ $$=\lim{x\to -\infty}x\frac{\left(\sqrt{x^2-x}-\sqrt{x^2-1}\right)\left(\sqrt{x^2-x}+\sqrt{x^2-1}\right)}{\left(\sqrt{x^2-x}+\sqrt{x^2-1}\right)}$$ $$=\lim{x\to -\infty}x\frac{\left(1-x\right)}{|x|\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\right)}$$ $$=\lim{x\to -\infty}\frac{x\left(1-x\right)}{(-x)\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\right)}$$ $$=-\lim{x\to -\infty}x\frac{\left(\frac 1x-1\right)}{\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\right)}$$ $$=-\lim{x\to +\infty}x\frac{\left(1+\frac 1x\right)}{\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\right)}\longrightarrow \color{red}{-\infty}$$