¿Es la norma algebraica de un anillo entero euclidiano también una norma de dominio euclidiano?

Question

Dejemos que $K$ sea una extensión finita de $\mathbb{Q}$ (un campo numérico) y $\mathcal{O}_K$ su anillo de enteros. Se define la norma de un elemento $\alpha\in K$ para ser el determinante de la transformación $m_\alpha: K\to K$ de la multiplicación por $\alpha$ (donde $K$ se considera un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ ).

Ahora bien, a veces el anillo de enteros es también un dominio euclidiano, es decir, tiene una "norma euclidiana" que satisface la propiedad definitoria del algoritmo de la división. Mi pregunta es: en un anillo de enteros que también es euclidiano, ¿la norma definida anteriormente también servirá como norma euclidiana?

Dicho de otro modo: ¿existe un ejemplo de anillo entero euclidiano cuya norma sea no ¿una norma euclidiana?

Answer 1

Wikipedia dice que " $\mathbb Q(\sqrt {69})$ es euclidiano, pero no normativo. Encontrar todos esos campos es un gran problema abierto, sobre todo en el caso cuadrático."

Answer 2

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.109.3835&rep=rep1&type=pdf