$\kappa$-saturado, $1$-tipos-tipos de % de $n$

Question

Definición. Deje $\kappa$ ser un infinito cardenal. Decimos que un $L$estructura $\mathfrak{A}$ $\kappa$saturada de iff todos los $1$-de los tipos sobre los conjuntos de cardinalidad menor que $\kappa$ se realizan en $\mathfrak{A}$.

La proposición. $\mathfrak{A}$ $\kappa$saturada de iff todos los $n$-de los tipos sobre los conjuntos de cardinalidad menor que $\kappa$ se realizan en $\mathfrak{A}$.

En el Marcador del libro "Modelo de la Teoría: Una Introducción", se puede encontrar la siguiente prueba de la proposición se indicó anteriormente. (Para evitar confusiones: Para mí, cada tipo ha de ser completa, por definición. Esto es diferente a la del Marcador de definición de tipos.)

Prueba. Podemos demostrar esto por inducción en $n$. Suponga que $\mathfrak{A}$ $\kappa$- grasas saturadas y $X\subseteq A$$|X|<\kappa$. Deje $p\in S_{n}^{\mathfrak{A}}(X)$. Deje $q\in S_{n-1}^{\mathfrak{A}}$ ser el tipo de $\{\phi(v_1,\ldots,v_{n-1})\;:\;\phi\in p\}$. Por inducción, $q$ es realizado por algunos $\bar a$$\mathfrak{A}$. Deje $r\in S_{1}^{\mathfrak{A}}(X\bar a)$ ser el tipo de $\{\psi(\bar a,w)\;:\;\psi(v_1,\ldots,v_n)\in p\}$. Desde $\mathfrak{A}$ $\kappa$- grasas saturadas y $|X\bar a|<\kappa$, podemos realizar r por algunos $b$$\mathfrak{A}$. A continuación, $(\bar a,b)$ da cuenta de $p$.

Pregunta. Yo no ver de inmediato qué $r=\{\psi(\bar a,w)\;:\;\psi(v_1,\ldots,v_n)\in p\}$ es finitely conste. Tengo que probar esto. Y lo hago de la siguiente manera:

Deje $\psi_1(\bar a,w),\ldots,\psi_k(\bar a,w)\in r$. A continuación,$\psi_1(\bar a,w)\land\ldots\land\psi_k(\bar a,w)\in r$. Por lo tanto, sólo tenemos que demostrar que todos los $\psi(\bar a,w)\in r$ es válido en $\mathfrak{A}$. Por lo tanto, vamos a $\psi(v_1,\ldots,v_n)\in p$ y se asume que la variable $v_n$ ¿ realmente se producen en $\psi$. A continuación,$\exists v_n\psi(v_1,\ldots,v_n)\in q$. Por lo tanto $\mathfrak{A}\models\exists v_n\psi(\bar a,v_n)$. Por lo tanto $\psi(\bar a,w)$ es válido en $\mathfrak{A}$. Por lo tanto $r$ es finitely conste. Ya que es completo, lo que realmente es un tipo.

Me pregunto si uno puede ver más fácilmente de lo que $r$ es realmente un tipo. La razón por la que me pregunto es que la prueba en el Marcador del libro , naturalmente, afirma que $r$ es un tipo.

Answer 1

Creo que la prueba es la forma más sencilla de ver que $r$ es un tipo.

Como usted se mueve más en el modelo de la teoría, usted encontrará que a menudo rutina de compacidad argumentos como este puede ser sustituido por los argumentos usando la saturación de un "monstruo modelo". Tal argumento sería esta:

Fijar un $\lambda$-grasas saturadas y $\lambda$-fuertemente modelo homogéneo $\mathbb{M}$, para algunos un gran $\lambda$ (mayor que el de los cardenales que nos interesan, y los tamaños de los modelos que nos importa: $\kappa$ $|\mathfrak{A}|$ en este caso). A continuación, todos los modelos que nos importa (sólo $\mathfrak{A}$ en este caso) insertar en $\mathbb{M}$.

Ahora desde $p$ es un tipo más de $X\subseteq \mathfrak{A}\preceq \mathbb{M}$ del tamaño de la $<\kappa$, $\lambda$de saturación se realiza en $\mathbb{M}$$\overline{a}b$. Aquí $\overline{a}$ es una tupla de la longitud de la $n-1$, e $b$ es un singleton.

Ahora por inducción, podemos recoger $\overline{a}'$ darse cuenta de $q$$\mathfrak{A}$. Pero $\overline{a}'$ $\overline{a}$ tienen el mismo tipo de más de $X$, por la fuerte homogeneidad de $\mathbb{M}$, hay un automorphism $\sigma$ $\mathbb{M}$ fijación $X$$\sigma(\overline{a}) = \overline{a}'$. Deje $b' = \sigma(\overline{b})$. A continuación, $b$ da cuenta de $\{\varphi(\overline{a},x_n)\mid \varphi\in p\}$, lo $b'$ da cuenta de $r = \{\varphi(\overline{a}',x_n)\mid \varphi\in p\}$, por lo tanto $r$ es consistente.

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La idea puede resumirse de esta manera: $p$ es consistente, por lo $q$, su restricción a la primera $n-1$ variables es consistente. La afirmación de que $r$ es consistente es la afirmación de que para la realización de $\overline{a}'$$q$, es consistente para extenderlo a la realización de la $p$. Pero cualquiera de las dos realizaciones de $q$ "el mismo aspecto" (capturado por la noción de un automorphism de $\mathbb{M}$), así que si uno puede ser extendida a una realización de $p$ (y no se puede, ya que $p$ es consistente), por lo que puede a $\overline{a}'$.

Tenga en cuenta que no estoy sugiriendo que usted utilice este argumento aquí. Para una cosa, más bien pone el carro delante del caballo, suponiendo que tiene una muy saturado y fuertemente homogéneo monstruo modelo de todo incluso antes de que hayas probado los hechos básicos sobre saturado de modelos. También, en este caso, el monstruo modelo de prueba es sin duda no es más simple que la compacidad argumento que dio. Yo sólo quería señalar que hay otra manera de pensar acerca de las argumentos como este, que puede ser mucho más eficiente cuando llegue a las pruebas que requeriría la aplicación de compacidad varias veces.