Ecuación diferencial de forma no estándar.

Question

Resuelve la ecuación diferencial:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}(y^{2}+1)}$$

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Intenté convertirlo en un diferencial exacto pero no lo conseguí. También he intentado poner la ecuación en forma estándar, pero tampoco lo he conseguido. Por favor, ayúdenme.

Esta es la pregunta exacta:

Answer 1

CONSEJO para las dos últimas opciones : Boceto $y(x)$ en $x>1$

Hay que considerar por separado los casos : primero $y(1)<-1$ , segundo $-1<y(1)<1$ , tercero $1<y(1)$ . Considere el signo de $\frac{dy}{dx}$ que es lo mismo que $|x|-|y|$ y el cambio de signo que indican un máximo o un mínimo de $y(x)$ .

Para $x$ tendiendo a infinito, la ecuación tiende a $\frac{dy}{dx}\sim \frac{1}{y^2+1}$ que conduce a $\frac{1}{3}y^3\sim x$ .

Por supuesto, no hay que dar una representación gráfica como respuesta definitiva. Es sólo una aproximación preliminar que hace comprensible el comportamiento de la función. Después, es más fácil encontrar cuál será la respuesta y cómo demostrarla.

Answer 2

Opción (A): Tenga en cuenta que si $x>1$ entonces $$ y'=\frac{x^2-y^2}{x^2(y^2+1)}=\frac{1}{y^2+1}- \frac{y^2}{x^2(y^2+1)}\ge\frac{1}{y^2+1}-\frac{y^2}{y^2+1}=-\frac{y^2-1}{y^2+1}. $$ Caso 1: $|y|< 1$ . Entonces $$ \left[1+\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y+1}\right]dy \le -x $$ y por lo tanto $$ y+\ln\bigg|\frac{y-1}{y+1}\bigg|\le -(x-1)+y(1)+\ln\bigg|\frac{y(1)-1}{y(1)+1}\bigg|. $$ Así que $$ e^y\bigg|\frac{y-1}{y+1}\bigg|\le ke^{-(x-1)}. $$ Es fácil ver que $$ \lim_{x\to\infty} y(x)=1. $$