Atascado en esta integración $\int_0 ^\infty \frac{1}{1+x^2} \cos(kx) dx =\frac{\pi}{2}e^{-k}$

Question

No estoy seguro de cómo mostrar esto

$$\int_0 ^\infty \frac{1}{1+x^2} \cos(kx) \ \mathrm dx =\frac{\pi}{2}e^{-k}$$

He intentado por partes pero no consigo nada, agradecería mucho la ayuda

Answer 1

(N.B.: en todo momento, asumo que $k>0$ ya que la integral es claramente una función par de $k$ de verdad $k$ Es suficiente).

Yo diría que tienes cuatro opciones principales aquí:

1. Utiliza el teorema de inversión de Fourier: sabemos que la transformada de Fourier de una función tiene una inversa única. Esto se traslada a la transformada del coseno como $$ \int_0^{\infty} f(x) \cos{kx} \, dx = F(k) \iff \int_0^{\infty} F(k) \cos{kx} \, dk = \pi f(x) $$ La única función continua en el eje real positivo con transformada de Fourier $1/(1+x^2)$ es $e^{-k}/2$ y el teorema de inversión anterior da el resultado. (Puedes llamar a esto un poco barato, por supuesto... Tuve la suerte de saber lo que se transformó en $1/(1+x^2)$ .)

2. Utiliza la diferenciación bajo el signo integral: (esta forma también va a ser ligeramente ilegal) Escribe $$ I(k) = \int_0^{\infty} \frac{\cos{kx}}{1+x^2} \, dx. $$ Entonces $$ I''(k) = \int_0^{\infty} \frac{-x^2\cos{kx}}{1+x^2} \, dx = I(k) + \int_0^{\infty} \cos{kx} \, dx $$ Llegados a este punto, debería cundir el pánico y decir que esta integral no está definida. Correcto, pero formalmente lo está $2\pi\delta(k)$ . Dado que sólo se trata de un $k$ (lo cual, de nuevo, es ilegal; tal vez la forma más sensata de hacerlo sea insertar un factor $e^{-\lambda x}$ , obtenemos la última respuesta como $$ \int_0^{\infty} e^{-\lambda x} \cos{kx} \, dx= \frac{\lambda}{\lambda^2+k^2}, $$ y a continuación, establecer $\lambda=0$ .) La solución de la ecuación diferencial $$ I''(k)-I(k)=0 $$ es $I(k)=A e^k + Be^{-k}$ pero el Lema de Riemann-Lebesgue (o haciendo alguna integración por partes sobre la integral original) nos dice que $A=0$ . Por lo tanto, sólo tenemos que encontrar $B=I(0)$ que también se conoce como $$ \int_0^{\infty} \frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{2}, $$ que da la respuesta.

3. En realidad, haz la integral (I): Bien, ahora nos ponemos serios. Fíjate que $$ \int_0^{\infty} f(x) \cos{kx} \, dx = \frac{1}{2}\int_0^{\infty} f(x) e^{ikx} \, dx + \frac{1}{2}\int_0^{\infty} f(x) e^{-ikx} \, dx = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} (f(x)+f(-x))e^{ikx} \, dx, $$ por lo que esto da en el caso de nuestra función par, $$ I(k) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ikx}}{1+x^2} \, dx, $$ y ahora hacemos la integral utilizando el análisis complejo, tomando un contorno semicircular cerrado en el semiplano superior, utilizando el lema de Jordan para mostrar que la integral sobre el semicírculo desaparece, y encontrando el residuo en $x=i$ .

4. En realidad, haz la integral (II): Bien, dirás, pero ¿qué pasa sin el análisis complejo? Usa la parametrización de Schwinger, $$ \frac{1}{1+x^2} = \int_0^{\infty} e^{-\alpha(1+x^2)} \, d\alpha, $$ e intercambiar el orden de integración. Luego hay que hacer $$ \int_0^{\infty} e^{-\alpha x^2} \cos{kx} \, dx, $$ lo que puede hacerse diferenciando con respecto a $k$ e integrando por partes. Por último, haz la $\alpha$ integral.

Answer 2

Dejemos que $I(k)$ denotan la integral dada. Tomar la transformada de Laplace: $$\begin{align*}\mathcal{L}\{I(k)\}&=\int_0^\infty\int_0^\infty \frac{\cos kx}{1+x^2}e^{-sk}\,dk\,dx\\\\ &=\int_0^\infty\frac{1}{1+x^2}\mathcal{L}\{\cos kx\}\,dx\\\\ &=\int_0^\infty\frac{s}{(1+x^2)(s^2+x^2)}\,dx\\\\ &=\int_0^\infty\left(\frac{s}{(s^2-1)(1+x^2)}-\frac{s}{(s^2-1)(s^2+x^2)}\right)\,dx\\\\ &=\frac{s}{s^2-1}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2s}\right)\end{align*}$$ Encontrar la inversa da el resultado deseado.

Answer 3

Basta con escribir la integral como

$$\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos kx}{1+x^2} = \frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ikx}}{1+x^2}dx + \frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-ikx}}{1+x^2}dx $$

y ahora comprueba la transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier de $\frac{1}{1+x^2}$