¿Bajo qué condiciones una solución de una oda es función analítica?

Question

Si no me equivoco hay un teorema que dice que si se cumplen las condiciones para el teorema de Picard, una oda $\dot x=f(x,t)$, entonces la solución de la Oda es tan suave como $f$. Creo que no estoy mal con este hecho.

Así que si es de $f$ $\mathcal{C}^k$ entonces $x(t)$ será también $\mathcal{C}^k$. Me pregunto si el hecho de que $f$ es analítica implica también que $x$ es analítica o si existe otra condición que lo implica.

Answer 1

Sí, esto se denomina Teorema de Cauchy. Si es analítica en $f(x,t)$ entonces existe una única solución analítica en el punto $(x_0,t_0)$ $t_0$. El mismo Teorema es cierto si tenemos en cuenta ambos $x,t\in\mathbf C$.

Su declaración acerca de la suavidad de las soluciones no es muy correcto. Tiene si $f\in C^k$ entonces la solución es $C^{k+1}$.