¿Cuando la variable substituitions se permiten en Taylor ' s polinomios cuando se aren ' t?

Question

Deje $f:[-a,a] \rightarrow \mathbb{R}$ ser una función suponiendo derivados de hasta el $n$-ésimo orden en el intervalo abierto $(-a,a)$. El polinomio de Taylor de $f$ $0$ es:

$$P_{n}(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$$

Por ejemplo, si $f(t)=e^t$, entonces:

$$P_{n}(t) = 1 + t + \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3!} + ... + \frac{t^n}{n!}$$

Es posible sustituto $t \rightarrow -x^2$ para obtener:

$$P_{n}(-x^2) = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{3!} + ... + (-1)^n \frac{x^{2n}}{n!}$$

Y la primitiva de este polinomio puede ser utilizado para aproximar $\int e^{-x^2}dx$

Sin embargo, si hubiéramos $g(x) = e^{\sin x}$, la tercera orden de polinomio de Taylor sería

$$P_{3}(\sin x) = 1 + x + \frac{x^2}{2}$$ (Note: the third derivative calculated in $0$ is equal to $0$)

Y obviamente, en sustitución de $t$ $\sin x$ no trabajo aquí.

Puede parecer una pregunta tonta, pero cuando llegué a este resultado, empecé a hacer lo que es formalmente una sustitución y, cuando es posible el cambio de variables y cuando no lo es.

Answer 1

La regla general es que usted puede calcular el polinomio de Taylor de $f(g(x))$ por sustitución siempre que $g(0)=0$. Esta condición asegura que los términos de orden en el Taylor-expansión para $f$ no contribuyen cualquiera bajo los términos de orden en la expansión de $g$, así que usted puede sentirse libre para ignorarlos - de hecho, cuando se $f$ $g$ son analíticos, se puede hacer el cálculo, incluso con poder formal de la serie, sin tener que preocuparse acerca de la convergencia.

Así que, como $\sin 0=0$, en realidad se puede calcular los polinomios de Taylor de $e^{\sin x}$ por sustitución. Por ejemplo, el polinomio de tercer orden es dada por

\begin{align} e^{\sin x} &\approx 1 + \sin x + \frac{\sin^2 x}{2!} + \frac{\sin^3 x}{3!}\\ &\approx 1 + \left(x - \frac{x^3}{3!}\right) + \frac{1}{2}\left(x - \frac{x^3}{3!}\right)^2+\frac{1}{6}\left(x - \frac{x^3}{3!}\right)^3\\ &\approx 1 + x + \frac{1}{2}x^2 \end{align} (ver este WolframAlpha enlace para verificar la última afirmación: ir a la "forma expandida" de la sección y de ignorar cada poder de la $x$ mayor que $3$).

Pero un cálculo similar para $e^{\cos x}$ fail: como $\cos 0 \neq 0$, usted necesita todos los términos de $e^t$'s de Taylor-expansión incluso calcular $e^{\cos 0}$, mucho menos que los derivados de la $e^{\cos x}$ a cero.