Cómo resolver $\int \frac{x^4 + 1 }{x^6 + 1}$ ?

Question

Cómo resolver $\int \frac{x^4 + 1 }{x^6 + 1}$ ?

El numerador es un polinomio irreducible por lo que no puedo usar fracciones parciales.
Probé las sustituciones $t = x^2, t=x^4$ y para la fórmula $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ Traté de usar: $u=\frac{x^4 + 1 }{x^6 + 1} , \,dv=\,dx \\ u=\frac{1}{x^6 + 1} , \,dv= (x^4 + 1) \,dx \\u=x^4 + 1 , \,dv=\frac{\,dx}{x^6 + 1}$

Pero siempre me salen integrales más complicadas.

Agradecemos cualquier sugerencia.

Answer 1

$$\int \frac{x^4 + 1 }{x^6 + 1}=\int \frac{x^4 -x^2+ 1 }{x^6 + 1} + \int \frac{x^2 }{x^6 + 1}=\int \frac{1}{x^2 + 1} + \int \frac{x^2 }{x^6 + 1}$$

La primera integral es conocida mientras que la segunda es fácil por $u=x^3$ .

Answer 2

Pista: Descomponga el denominador utilizando $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ . A continuación, añada $\&$ reste $x^2$ en el numerador.

Answer 3

OK es una función racional por lo que preformamos una descomposición en fracciones parciales. El primer paso es factorizar el denominador en factores lineales y cuadráticos. $$x^6+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1)=(x^2+1)((x+1)^2-x^2))= (x^2+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)$$

Ahora encontramos

$$\frac{x^4+1}{x^6+1}=\frac{2}{3}\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{6}\frac{1}{x^2-x+1}+\frac{1}{6}\frac{1}{x^2+x+1}$$

Así que tenemos

$$\frac{2}{3}\int \frac{dx}{x^2+1}+\frac{1}{6}\int\frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^2+ \frac{3}{4}}+\frac{1}{6}\int\frac{dx}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}$$

Dar $$\frac{2}{3}\arctan x+\frac{1}{3\sqrt{3}}\arctan \frac{2}{\sqrt{3}}(x-\frac{1}{2})+\frac{1}{3\sqrt{3}}\arctan \frac{2}{\sqrt{3}}(x+\frac{1}{2})$$ en el improbable caso de que no cometiera errores.