Es una Matriz de Rotación Todavía una Matriz de Rotación bajo un Estándar de Base?

Question

Trabajemos en $\mathbb{R}^2$. Considere la siguiente matriz de rotación:

$$ R = \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} $$

Estoy de acuerdo en que este representa una rotación de ángulo de $\theta$ $\mathbb{R}^2$ por debajo del estándar de la base de $\beta = \{(1,0), (0,1)\}$. Pero él todavía representan una rotación si cambiamos la base para algo no estándar (en el dominio y el codominio), decir $\beta_1 = \{1, 1), (1, -1) \}$?

Es decir, tendríamos que

$$ \mathbf{\vec{b}}^t R \mathbf{c} $$

representa una rotación si $\mathbf{\vec{b}}$ representa a nuestra no-estándar y $\mathbf{c}$ representa un elemento arbitrario en $\mathbb{R}^2$ con respecto a la no-estándar de la base?

Answer 1

Sí, es posible. En particular, $R=\pm I_2$ es invariante bajo cada cambio de base.

Si usted necesita un trivial ejemplo, tenga en cuenta que cuando se $R\ne\pm I_2$, el producto $P^{-1}RP$ $2\times2$ matriz de rotación si y sólo si $P$ es un valor distinto de cero múltiples de cualquier $2\times2$ real ortogonal de la matriz. El "si" puede ser fácilmente verificado si usted multiplicar $P^{-1}RP$ directamente; para demostrar el "si" de parte, considere la posibilidad de $(P^{-1}RP)^T(P^{-1}RP)$.

Así que, en su caso, cuando el cambio de base de la matriz es $P=\pmatrix{1&1\\ 1&-1}$, una rotación seguirá siendo siempre una rotación en la nueva base, debido a que $P$ es un valor distinto de cero múltiples de la real ortogonal de la matriz $\frac1{\sqrt{2}}\pmatrix{1&1\\ 1&-1}$.