Mostrando $a^2 < b^2$, si $0 < a < b$

Question

Últimamente, he estado tropezando con las pruebas de las desigualdades.

Por ejemplo:

Dado $0 < a < b$
Espectáculo $a^2 < b^2$

La única cosa que yo he sido capaz de llegar hasta el momento:

$a^2 < b^2$
$\sqrt{a^2} < \sqrt{b^2}$
$a < b$

OR

$a < b$
$a^2 < b^2$

Sin embargo, ninguna de estas soluciones parecen ser realmente "mostrar" que $a^2 < b^2$, asumiendo $0 < a < b$. He probado algunas otras cosas, pero fue en vano. Soy simplemente overthinking el problema cuando, en realidad, estos son en realidad soluciones aceptables, o soy yo realmente falta algo aquí?

Answer 1

Recordar que la multiplicación por un número positivo conserva orden: desde $a > 0$ $a 0$, entonces de $a

Answer 2

$$0<a<b\Rightarrow 0\cdot un<a\cdot a<b\cdot a<b\cdot b\Rightarrow a^{2}<b^{2}.$$

Answer 3

Si $0<a<b$, en tanto $b-a>0$, $b+a>0$. Esto implica que

$$b^2-a^2=(b-a)(b+a)>0,$$

que es equivalente a $b^2>a^2$.

Answer 4

Se especializan $\rm\ B = b,\: A = a\ $ en este Desigualdad Producto de la Regla de

LEMA $\rm\ \ b>a,\:B>A\ \Rightarrow\ b\:B>a\:A\ $ si en la mayoría de los una de $\rm\ a,b,A,B\:$ $\:\le 0$

Prueba de $\rm\quad b\:B-a\:A\ =\ b\:(B-A)+(b-a)\:A > 0\ $ por wlog $\rm\ a \le 0\ \Rightarrow\ b,\:A > 0\:$

NOTA $\:$ La prueba es esencialmente la misma que la conocida prueba de la Congruencia de los Productos de la Regla, una regla que se encuentra en el corazón de muchos de reglas de productos (por ejemplo, para los derivados - ver dicho post).