Sobre la definición de una diferencial meromorfa en una superficie de Riemann

Question

En el libro "Complex Algebraic Curves", Frances Kirwan da la siguiente definición de una diferencial meromorfa en una superficie de Riemann.

Definición . Sea $\{\phi_\alpha:U_\alpha\rightarrow V_\alpha: \alpha \in A\}$ sea un atlas holomorfo sobre una superficie de Riemann $S$ . Entonces una diferencial meromorfa $\eta$ en $S$ viene dada por una colección $$\{\eta_\alpha: V_\alpha \rightarrow \mathbb{C}\cup\{\infty\}: \alpha \in A\}$$ de funciones meromórficas en los subconjuntos abiertos $V_\alpha$ de $\mathbb{C}$ de manera que si $\alpha,\beta \in A$ y $u\in U_\alpha\cap U_\beta$ entonces $$\eta_\alpha(\phi_\alpha(u))=\eta_\beta(\phi_\beta(u))(\phi_\beta \circ \phi_\alpha^{-1})'(\phi_\alpha(u)).$$

Para dos funciones meromorfas $f$ y $g$ en $S$ el diferencial $fdg$ en $S$ se define por $fdg=\eta$ , donde $\eta_\alpha=(f\circ \phi_\alpha^{-1})(g\circ\phi_\alpha^{-1})'$ .

Además, se hace la siguiente observación:

Si $\eta$ y $\zeta$ son diferenciales meromórficas según esta definición y $\zeta$ no es idénticamente cero en ningún componente conexo de $S$ entonces los ratios $\eta_\alpha/\zeta_\alpha$ definen funciones meromórficas en los subconjuntos abiertos de $V_\alpha$ de $\mathbb{C}$ satisfaciendo $$\frac{\eta_\alpha(\phi_\alpha(u))}{\zeta_\alpha(\phi_\alpha(u))}=\frac{\eta_\beta(\phi_\beta(u))}{\zeta_\beta(\phi_\beta(u))}$$ para todos $u\in U_\alpha$ o, por el contrario $\eta=f\zeta$ . Por lo tanto, para demostrar que toda diferencial meromorfa $\eta$ en el sentido de la definición 6.6 es una diferencial meromorfa de la forma $fdg$ basta con demostrar que existe al menos una función meromorfa no constante $g$ en cada suraface de Riemann

Estas son mis preguntas:

1. Por qué el diferencial $fdg$ está bien definido, es decir, por qué $(f\circ \phi_\alpha^{-1})(g\circ\phi_\alpha^{-1})'(\phi_\alpha(u))=(f\circ \phi_\beta^{-1})(g\circ\phi_\beta^{-1})'(\phi_\beta(u))(\phi_\beta \circ \phi_\alpha^{-1})'(\phi_\alpha(u))$ para $u\in U_\alpha\cap U_\beta$ y $\alpha,\beta \in A$ ?
2. Por qué la igualdad $\frac{\eta_\alpha(\phi_\alpha(u))}{\zeta_\alpha(\phi_\alpha(u))}=\frac{\eta_\beta(\phi_\beta(u))}{\zeta_\beta(\phi_\beta(u))}$ es lo mismo que $\eta=f\zeta$ y qué es $f$ al final? Si se trata de alguna función, sobre la que la notación insinúa, mi mente sigue negándose a entender cómo un conjunto (formalmente, $\eta$ es un conjunto, ¿no?) puede ser igual a otro conjunto por una función.
3. Cómo la existencia de una función meromorfa $g$ en toda superficie de Riemann implica que toda diferencial meromorfa en $S$ en el sentido de la definición dada es de la forma $fdg$ ?
4. Por último, una "pregunta ideológica": ¿es ideológicamente correcto pensar en diferenciales meromórficas sobre superficies de Riemann según esta definición? Me gusta esta definición porque, por un lado, no requiere conocimientos sobre haces cotangentes y sus secciones, por ejemplo, y, por otro, es bastante rigurosa (a diferencia de la definición que dice que una diferencial es "algo que puede escribirse como $fdz$ "). Y por cierto, ¿es "diferencial" lo mismo que "diferencial de 1 forma"?

Answer 1

1. Esto se deduce de la regla de la cadena, utilizando el hecho de que $$f \circ (\phi_\alpha)^{-1} = (f \circ \phi_\beta^{-1})(\phi_\beta \circ \phi_\alpha^{-1})$$ y de forma similar para $g$ .
2. El comentario no está muy bien expresado. La igualdad dice que existe una función meromorfa bien definida $f$ cuya restricción coincide con $\eta_\alpha(\phi_\alpha(u))$ donde se define, para cualquier elección de $\alpha$ y luego $\eta = f\zeta$ para esto $f$ . Por el contrario, si $\eta = f\zeta$ para cualquier función meromorfa $f$ entonces la igualdad debe cumplirse. En este caso, los productos son productos puntuales, como cuando se multiplican funciones polinómicas para obtener otra función polinómica.
3. Si $g$ es una función meromorfa que no es constante, entonces $dg$ es una diferencial meromorfa que no es idéntica a cero, por lo que tomando $\zeta = dg$ deducimos que cualquier diferencial meromorfa $\eta$ puede expresarse como $$\eta = f\zeta = f\,dg$$ para alguna función meromorfa $f$ .
4. Sí, esto está bien, y "diferencial" es lo mismo que "diferencial $1$ -forma".