si $A^2 \in M_{3}(\mathbb{R})$ es diagonalizable entonces también lo es $A$

Question

Demostrar o refutar:

si $A^2 \in M_{3}(\mathbb{R})$ es diagonalizable entonces también lo es $A$ .

Estoy bastante seguro de que esto no es cierto, pero he intentado y tratado de encontrar un ejemplo contrario sin éxito. Si alguien lo contradice, le agradecería que expusiera su proceso de pensamiento al construir la matriz $A$ .

También, otra pregunta en el mismo lote, pregunta:

Dejemos que $p(t)=t(t-0.25)(t-1)$ sea el polinomio característico de $A^2$ es $A$ ¿diagonalizable?

Creo que esto se supone que responde a la pregunta anterior, asumiendo que la respuesta aquí es falsa.

Aquí sé $A^2$ es diagonalizable, pero no he hecho ningún progreso sustancial aparte de eso.
Sé que puedo pasar de los valores propios de $A$ a los valores propios de $A^k$ pero no al revés.

Answer 1

Prueba con $A=\begin{pmatrix} 0&0&1 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix}$ . La idea es que la matriz nula es diagonalizable, pero existen matrices que satisfacen $A^2=0$ y $A$ no es diagonalizable.

Para la segunda pregunta, observe que los valores propios de $A^2$ son distintos, y por lo tanto los valores propios de $A$ son distintos, lo que implica que $A$ es diagonalizable.

Si $P_A$ denota el polinomio mínimo de $A$ entonces $P_{A^2}(X^2)$ es un polinomio anulador para $A$ . Esto significa que $P_A|P_{A^2}(X^2)$ . Si $A^2$ es diagonalizable entonces $P_{A^2}$ tiene raíces simples. Si el cero no es raíz de $P_{A^2}$ entonces todas las raíces de $P_{A^2}(X^2)$ son simples por lo que todas las raíces de $P_A$ son simples y $A$ es diagonalizable. (aquí tenemos que estar seguros de que las raíces de $P_A$ están todos en el campo de los elementos de $A$ si trabajamos en $\Bbb{C}$ entonces estamos bien)

Por tanto, si el cero no es un valor propio de $A$ entonces $A^2$ diagonalizable implica $A$ diagonalizable.

Answer 2

La respuesta al segundo problema es sí. En general, los valores propios (en general complejos) de $A^2$ son los cuadrados de los valores propios de $A$ . En este caso $A^2$ tiene los valores propios $0$ , $\frac{1}{4}$ y $1$ . Por lo tanto, $0$ es un valor propio de $A$ , ya sea $\frac{1}{2}$ o $-\frac{1}{2}$ es un valor propio de $A$ y, o bien $1$ o $-1$ es un valor propio de $A$ . Esto significa que $A$ tiene $3$ valores propios reales distintos, lo que implica que es diagonalizable. La clave es que los valores propios de $A^2$ son distintos y no negativos, lo que implica que los valores propios de $A$ son distintos y reales.

Edición: Accidentalmente me he solapado un poco con la respuesta anterior de Beni Bogosel. (Se añadió más después de que empezara a escribir).

Answer 3

A la segunda pregunta: sí. Si todos los valores propios de $A^2$ son distintos por pares, entonces también lo son los valores propios de $A$ porque si $Av=\lambda v$ entonces $A^2 v = \lambda ^2 v$ Así que $\ker(A-\lambda I) \subset \ker(A^2 - \lambda^2 I)$ .

Una matriz con valores propios distintos por pares es diagonalizable. Es un teorema sencillo y bien conocido.