Funciones enteras con finitas $L^1$ debe ser idéntico $0$

Question

Otra pregunta de Variables complejas: Una introducción por Berenstein y Gay.

Demostrar que una función entera tiene finito $L^1$ norma sobre $\mathbb{C}$ si $f\equiv0$ . ¿Esto también es válido para $L^2, L^{\infty}$ ?

Por lo tanto, el $L^{\infty}$ caso creo que se deduce del Teorema de Liouville, pero de los otros no estoy seguro. ¿Cómo debería abordarlos? Mi intuición sería utilizar una expansión en serie de potencias en $0$ para $f$ pero el trabajo que he hecho sobre el papel con esto no ha llegado a ningún sitio fructífero.

Editar: Como se discute en los comentarios, hay dos casos a considerar wrt el comportamiento en $\infty$ : si $f$ tiene un polo allí, entonces $f$ debe ser un polinomio por lo que debe tener norma infinita. Por lo tanto, estamos reducidos al caso en el que $f$ tiene una singularidad esencial en $\infty$ .

Answer 1

Si recuerdo mi análisis complejo, las partes reales e imaginarias de $f(z)$ , denotado como $u(x,y)$ y $v(x,y)$ son armónicos en $\mathbb{R}^{2}$ . Si $\|f\|_{L^{1}(\mathbb{R}^{2})}$ es finito, entonces $\max\{\|u\|_{L^{1}},\|v\|_{L^{1}}\}<\infty$ . Por la propiedad del valor medio, tenemos para cualquier fijo $(x,y)\in\mathbb{R}^{2}$ ,

$$|u(x,y)|\lesssim\dfrac{1}{r^{2}}\int_{B_{r}(x,y)}|u(s,t)|dsdt\leq\dfrac{\|u\|_{L^{1}}}{r^{2}},\quad\forall r>0$$

donde la constante implícita es independiente de $r>0$ y $(x,y)$ . Dejar $r\rightarrow \infty$ obtenemos que $|u(x,y)|=0$ . Por el mismo argumento, se obtiene $|v(x,y)|=0$ .

Si $\|f\|_{L^{2}}<\infty$ , entonces por convexidad, $\max\{\|u\|_{L^{2}},\|v\|_{L^{2}}\}<\infty$ . Por el argumento anterior y la desigualdad de Holder,

$$|u(x,y)|\lesssim\dfrac{1}{r^{2}}\int_{B_{r}(x,y)}|u(s,t)|dsdt\lesssim\left(\dfrac{1}{r^{2}}\int_{B_{r}(x,y)}|u(s,t)|^{2}dsdt\right)^{1/2}\leq\dfrac{\|u\|_{L^{2}}}{r},\qquad\forall r>0$$

donde las constantes implícitas son independientes de $r>0$ y $(x,y)$ . Dejar $r\rightarrow\infty$ obtenemos la conclusión deseada.