Estoy leyendo no conmutativa Anillos por el I. N. Herstein. El teorema estoy teniendo problemas con la es 1.2.5, en la página 16 del libro.
Algunos definición
1. Regular ideal
Ideal $\rho \subset R$ se llama regular ideal ideal de derecho de la $R$ fib existe un $r \in R$, de tal manera que $x - rx \in \rho, \forall x \in R$.
2. Derecho cuasi-regular elemento
$a$ se llama el derecho cuasi elemento de $R$, es que podemos encontrar $r \in R$, de tal manera que $a + r + ar = 0$. Tal $r$ es llamado un derecho-cuasi inversa de a $a$.
3. Derecho cuasi-regulares ideal
Ideal $\rho \subset R$ es llamado un derecho-cuasi regular ideal iff cada elemento de lo que es correcto-cuasi regular.
3. Módulo sencillo
Un derecho $R-$módulo de $M$ se llama simple si los dos siguientes requisitos:se
$MR \neq 0$.
$M$ no tiene no trivial submódulo.
4. Jacobson radical
El Jacobson radical es el conjunto de todos los elementos en $R$ que aniquilar a todos los simples $R-$módulos.
Algunas propiedades
$J(R) = \bigcap\limits_{M \text{ simple $R-$module}}\text{Ann}(M) = \bigcap\limits_{\rho \text{ regular, maximal right ideal of } R} \rho$
$M$ es un derecho, simple $R-$módulo de iff hay algunos máxima, regular ideal de derecho $\rho \subset R$, de tal manera que $M \cong R/\rho$.
Todo el derecho-cuasi regular ideal está contenida en $J(R)$, e $J(R)$ es el máximo ideal entre el conjunto de la derecha-cuasi ideales de $R$.
Y este es un teorema estoy teniendo problemas con la.
Teorema 1.2.5 (página 16)
Si $A$ es un dos caras ideal de $R$,$J(A) = A \cap J(R)$.
Prueba
Vamos a probar ahora que $A \cap J(R) \subset J(A)$:
Deje $a \in A \cap J(R)$, ya que el $a \in J(R)$, como un elemento de $J(R)$, $a$ es derecho-casi, por lo tanto, no existe un $a'$, de tal manera que $a + a' + aa' = 0$, lo $a' = -a -aa' \in A$, ya que el $A$ es un ideal de a $R$.
Siendo un derecho-cuasi ideal de $A$, $A \cap J(R) \subset J(A)$.
Vamos a probar ahora que $A \cap J(R) \supset J(A)$:
Para cada maximal, regular ideal de derecho $\rho$$R$, vamos a $\rho_A = A \cap \rho$. Ahora, sólo puede haber 2 casos:
$A \not \subset \rho$, ya que el $\rho$ es máxima, $A + \rho = R$, y la combinación de los dos, tendremos: $$R/\rho \cong (A + \rho) / \rho \cong A /(\rho \cap A) = A/\rho_A$$ Ahora, desde la $R / \rho$ $R-$sencillo, tenemos que $\rho_A$ es la máxima ideal de derecho de la $A$ (?).
Desde $\rho$ es regular, existe alguna $b \in R$, de tal manera que $x - bx \in \rho, \forall x \in R$. Ahora $A + \rho = R$, por lo tanto $b = a + r$$a \in A$, e $r \in \rho$. Así, tendremos $x - bx = x - (a + r)x = a - ax -rx \in \rho, \forall x \in R$. Desde $r \in \rho$, debemos tener $rx \in \rho$. Por lo tanto $x - ax \in \rho, \forall x \in R$, por lo tanto $x - ax \in \rho_A, \forall x \in A$, lo que hace que $\rho_A$ $A-$regular. Desde $J(A)$ es la intersección de todas las máximas, regular ideal de $A$, tendremos $J(A) \subset \rho_A$.
- Si $A \subset \rho$,$\rho_A = A \cap \rho = A$, por lo que obviamente $J(A) \subset A = \rho_A$.
La combinación de los dos casos anteriores, vamos a tener $J(A) \subset \bigcap \rho_A = \left(\bigcap \rho \right) \cap A = J(R) \cap A$. Por lo tanto, produciendo el resultado deseado.
Después de este teorema, Herstein señalar que si $A$ no es de dos caras, luego el teorema es el resultado será un error. Pero como lo que yo puedo ver, no hay ningún lugar en el teorema que Herstein realmente utilizado, $A$ como dos caras ideal de $R$.
Y hay una cosa que no puedo conseguir, es el (?) parte. Sé $R / \rho$ $R-$sencillo, por lo tanto $A / \rho_A$ $R-$sencillo, lo que significa que no hay ningún ideal de derecho de la $R$ (no $A$) se encuentra entre las $\rho_A$, e $A$. ¿Cómo es que él llegó a la conclusión de que $\rho_A$ es un ideal maximal de a $A$? Es donde debo utilizar el hecho de que $A$ es de dos caras para probar?
Gracias chicos mucho,
Y tener un buen día.
