¿Es absoluta la distinción entre la cosita y el pañuelo?

Question

¿Hay alguna cualidad inherente a un objeto matemático que lo marque como "naturalmente" una cosita o un cachivache?

Supongamos, por ejemplo, que dos conceptos matemáticos, digamos, doodad y doohickey, originalmente definidos muy, muy lejos de los alcances de la teoría de categorías, se descubran más tarde como duales categóricos el uno del otro.

¿Sería entonces totalmente arbitrario renombrar a los doohickeys como "codoodads" o renombrar a los doodads como "codoohickeys"?

El hecho de que, al menos para mí, los coñitos son típicamente mucho más exóticos que sus duales sugiere que no hay una "coquetería" intrínseca que distinga a los coñitos de las cositas, y por lo tanto, siendo todas las demás cosas iguales, es el miembro más exótico de la pareja el que obtiene el coname. (De lo contrario, la extrema subrepresentación de los "cothingies" en mi anterior educación matemática es difícil de explicar.) Pero ocasionalmente me encuentro con comentarios que sugieren que algunos matemáticos al menos tienen un sentido intuitivo de cómo clasificar entidades matemáticas arbitrarias, ya sea como cositas o como bichitos. Ahí está el dilema.

¡Gracias!

PD: Wikipedia es extremadamente útil Lista de la jerga matemática desesperadamente necesita una entrada con conocimiento de causa sobre el término cointuición .

Answer 1

En la teoría de categorías, los cuadrados cartesianos, los productos, los núcleos y los límites son todos mapas en un diagrama dado, mientras que los cuadrados cocartesianos, los coproductos, los cokernels y los colimites son todos mapas de un diagrama dado. La homología y la cohomología también siguen esta regla (cuando se toman resoluciones para los functores covariantes).

Como Henning señaló, esto no debe ser confundido con co-vs-contra.

Para responder al título del post, no creo que la "co-comunidad" sea absoluta, pero lo anterior parece ser un principio rector bastante bueno. A veces puede ser sólo una cuestión de qué se descubre primero.

Answer 2

Una categoría algebraica como $ \text {Grp}$ o $ \text {Ring}$ a menudo tiene un functor olvidadizo para $ \text {Set}$ que tiene un anexo izquierdo (el functor de objeto libre) pero generalmente no un anexo derecho. De ello se deduce que el olvidadizo functor conserva los límites pero generalmente no los colímites. Esa es una razón por la que podría considerar los límites más básicos que los colímeros, al menos si le gusta el álgebra, ya que los límites parecen más familiares desde $ \text {Set}$ (por ejemplo, el conjunto subyacente del producto es el producto cartesiano en $ \text {Grp}$ mientras que el conjunto subyacente del coproducto es muy diferente de la unión desarticulada).

Por otra parte, podría decirse que el estado de la Incrustación de Yoneda $C \to \text {Set}^{C^{op}}$ ya que la cocompletación libre de una categoría es una prueba que sugiere que los colimites son más fundamentales.

Answer 3

Sólo daré un ejemplo que muestra que la distinción no es absoluta.

Tradicionalmente en la geometría diferencial se definen los vectores tangentes a un múltiple $V$ en un punto $P$ primero, por ejemplo como el espacio vectorial $T_P(V)$ de las clases de equivalencia de las curvas diferenciables a través de $P$ .
Y luego defines el espacio cotangente $T^*_P(V)$ como su espacio vectorial dual.

Zariski se dio cuenta de que en la geometría algebraica, si se considera una variedad $X$ y un punto $x \in X$ era más natural definir primero el espacio cotangente de $X$ en $x$ como $ \Omega ^1_x(X)= \mathfrak m_x/ \mathfrak m_x^2$ .
(En esta fórmula $m_x$ denota el ideal máximo del anillo local $ \mathcal O_{X,x}$ de $X$ en $x$ )
El espacio tangencial se define entonces como el dual del espacio cotangente $ \Omega ^1_x(X)$ visto como un espacio vectorial sobre el campo $ \mathcal O_{X,x}/ \mathfrak m_x$ .
Este enfoque (publicado por Zariski en 1947) tiene ventajas técnicas, especialmente en el caso de que $x$ es un punto singular de $X$ o para las variedades en el carácter $p \gt 0$ .