Diferenciales en cálculo Multivariable

Question

¿La idea de composición/descomposición de la fracción de la notación de la derivada de/en los diferenciales de aplicar en el cálculo multivariable? Me doy cuenta de que esta práctica es considerada no-estándar y a muchos no les gusta, incluso en una sola variable de cálculo, pero podemos multiplicar ambos lados de $dy/dx = f'(x)$ por $dx$ rendimiento $dy = f'(x)dx$, e invertir el proceso dividiendo ambos lados por $dx$ para volver a la ecuación original.

En el multivariable mundo, los diferenciales son más diversos. En lugar de tener sólo una dimensión en la que para empujar el valor de entrada de una función, podemos tomar un indefinidamente pequeño paso en un número infinito de direcciones, en un primer candidato ∂x, un pequeño empujón en la dirección del eje x, como se muestra.

Del mismo modo, $∂y$, $∂z$, etc., representar a codazos en paralelo a la entrada de los ejes. Sin embargo, la fórmula uno viene a través de la diferencial de $f$ en multivariable de cálculo es muy interesante.

En primer lugar, "full diferenciales" ($df$, $dy$, etc.) están presentes, mientras que uno podría esperar encontrar "parciales diferenciales" ($∂f$, $∂y$, etc.). ¿Cuál es el significado completo de las diferencias en el cálculo multivariable? En segundo lugar, dividiendo a través de uno de los diferenciales de rendimiento de una ecuación cuya verdad no es evidente. Por ejemplo, dividiendo por $dy$ resultados en $df/dy = f_x dx/dy + f_y + f_z dz/dy$. De nuevo, no está claro cuál $df/dy$ significa que cuando la $f$ tiene tres variables de entrada. Hace esta invitación a pensar acerca de las entradas como de vida en tres discontinuos número de líneas en lugar de en un único espacio tridimensional, mientras que el $∂f/∂y$ indicaría que el último? ¿Qué acerca de la $dx/dy$ e $dz/dy$, que son la entrada a la entrada de empujar proporciones; estos son relativas, ya que no implican la salida de la función (es decir, podría no ser posible para $z$ a ser una función de la $x$)? Es esta ecuación y los demás como válida, y que son útiles?

Answer 1

Nota: Esta respuesta se basa principalmente en la Introducción al Cálculo y Análisis del yo por R. Courant y John F..

Empezamos con el de una sola variable de caso y considerar una función de $y=f(x)$. Vamos a ver que también es bastante estándar para el tratamiento de $dx$ e $dy$ como separar las cantidades siempre que el uso de la configuración apropiada.

• Definición de derivada

  La definición de la derivada aparece en varias formas diferentes, usando la notación de Lagrange $y^{\prime}=f^{\prime}(x)$ escribimos $$\begin{align*} f^{\prime}(x)=\lim_{x_1\to x}\frac{f(x_1)-f(x)}{x_1-x}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{align*}$$ Usando la notación de Leibnitz escribimos $$\begin{align*} \frac{dy}{dx}=\frac{df(x)}{dx}=f^{\prime}(x)=\lim_{x_1\to x}\frac{f(x_1)-f(x)}{x_1-x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \end{align*}$$

  En Leibnitz la notación del paso al límite en el proceso de diferenciación se expresa simbólicamente mediante la sustitución del símbolo $\Delta$ por el símbolo $d$, motivando Leibnitz del símbolo de la derivada se define por la ecuación $$\begin{align*} \color{blue}{\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}}\tag{1} \end{align*}$$

Aquí tenemos las diferencias $\Delta x$ e $\Delta y$ que son independientes de los símbolos. Pero con el fin de obtener el derivado $\frac{dy}{dx}$ tenemos que asegurar que $\Delta x$ no es cero y realizamos el paso al límite por medio de una transformación que también en el límite evita la división por cero. En este contexto y con esta definición (1) tenemos que tratar a $\frac{dy}{dx}$ como único símbolo que no puede ser separada en dos cantidades diferentes $dy$ e $dx$. Pero ese no es el final de la historia.

• Definición de la diferencial

  La derivada de una función $y=f(x)$ fue definido por $$\begin{align*} f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \end{align*}$$ donde $\Delta x=h$. Si por un fijo $x$ y una variable $h$, definimos una cantidad $\varepsilon$por $$\begin{align*} \varepsilon(h)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f^{\prime}(x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}-f^{\prime}(x), \end{align*}$$ a continuación, el hecho de que $f^{\prime}(x)$ es el derivado de la $f$ en el punto de $x$ equivale a la ecuación $$\begin{align*} \lim_{h\to 0}\varepsilon(h)=0 \end{align*}$$ La cantidad de $\Delta y=f(x+h)-f(x)$ representa el cambio o incremento en el valor de la variable dependiente $y$ que se produce cuando el valor de $x$ de la variable independiente es cambiado por el importe $\Delta x=h$. Desde $$\begin{align*} \Delta y=f^{\prime}(x)\Delta x+\varepsilon \Delta x, \end{align*}$$ la cantidad de $\Delta y$ aparece como la suma de dos partes, a saber, una parte $f^{\prime}(x)\Delta x$ que es proporcional a $\Delta x$ y una parte $\varepsilon \Delta x$ que se puede hacer tan pequeño como queramos, en comparación con $\Delta x$ haciendo $\Delta x$ sí lo suficientemente pequeño. El dominante, lineales parte en la expresión de $\Delta y$ que llamaremos el diferencial de $dy$ de $y$ y escribir para ti $$\begin{align*} dy=df(x)=f^{\prime}(x)\Delta x\tag{2} \end{align*}$$

Aquí en (2) podemos ver cómo la $dy$ se convierte en un símbolo por su propia cuenta. Es , por definición, y en poco tiempo vamos a ver que este tipo de definición se encuentra en armonía con Leibnitz, el símbolo de $\frac{dy}{dx}$.

• Para cualquier función derivable $f$ y por un determinado $x$ este diferencial (2) es una bien definida la función lineal de $h=\Delta x$.

  Por ejemplo, para la función de $y=x^2$ tenemos $dy=d(x^2)=2x\Delta x=2xh$.

  Para la función particular $y=x$ cuyo derivado tiene el valor constante de uno, simplemente tenemos $dx=\Delta x$. A continuación, es consistente con nuestra definición de escribir $dx$ para $\Delta x$ cuando $x$ es la variable independiente; por lo tanto el diferencial de alguna función de $y=f(x)$ también puede ser escrito como $$\begin{align*} \color{blue}{dy=f^{\prime}(x)dx}. \end{align*}$$

• Resumen (el pie de la letra R. Courant): Anteriormente hemos utilizado el símbolo $dy/dx$ puramente simbólico para indicar el límite del cociente $\Delta y/\Delta x$ para $\Delta x$ tiende a cero. Con nuestra definición actual de los diferenciales $dy$ e $dx$ el derivado $dy/dx$ puede ser considerada realmente como la ordinaria del cociente de $dy$ e $dx$. Aquí, sin embargo, $dy$ e $dx$ ahora no son en ningún sentido "infinitamente pequeño" cantidades o "infinitesimals" tal interpretación estaría desprovisto de significado.

  En lugar de $dy$ e $dx$ están bien definidas las funciones lineales de $h=\Delta x$ , que para las grandes $\Delta x$ puede tener grandes valores numéricos. No hay nada notable en el hecho de que el cociente $dy/dx$ de las cantidades de materiales que tiene el mismo valor que el derivado $f^{\prime}(x)$. Esto es una mera tautología reformulación de la definición de $dy$ como $f^{\prime}(x)dx$.

Ahora tendremos un breve vistazo a la multi-variable de caso. Consideramos que para conveniencia solamente una función bivariante $u=f(x,y)$. Como para funciones de una variable consideramos $$\begin{align*} \Delta u=f(x+h,h+k)-f(x,y)=h f_x(x,y)+kf_y(x,y)+\varepsilon_1 h+\varepsilon_2 k \end{align*}$$

Llamamos a la parte lineal de la diferencial de la función, y escribir $$\begin{align*} du=df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}h+\frac{\partial f}{\partial y}k=\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y\tag{3} \end{align*}$$

Este diferencial, a veces llamada la diferencial total es una función de cuatro variables independientes, es decir, las coordenadas $x$ e $y$ de el punto bajo consideración y los incrementos de $h$ e $k$ de las variables independientes. Significa, simplemente, que $du$ se aproxima al incremento $\Delta u=f(x+h,y+k)-f(x,y)$ de la función, con un error que es arbitraria pequeña fracción $\varepsilon_1$ de $h$ e $\varepsilon_2$ de $k$, siempre que $h$ e $k$ son suficientemente pequeñas cantidades.

Para las variables independientes $x$ e $y$ nos encontramos de (3) que $$\begin{align*} dx&=\frac{\partial x}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial x}{\partial y}\Delta y=\Delta x\\ dy&=\frac{\partial y}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial y}{\partial x}\Delta y=\Delta y\\ \end{align*}$$ Por lo tanto, el diferencial de $df(x,y)$ está escrito más comúnmente $$\begin{align*} df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy \end{align*}$$

Finalmente consideramos que la diferencial total $$\begin{align*} df=f_xdx+f_ydy \end{align*}$$ y los relacionados con la expresión $$\begin{align*} \frac{df}{dy}=f_x\frac{dx}{dy}+f_y\tag{4} \end{align*}$$

En (4) tenemos una función $f=f(x,y)$ y considerar la posibilidad de $x=x(y)$ como función de $y$, por lo que $f=f(x(y),y)$ es una función en $y$ e $\frac{dx}{dy}=\frac{d}{dy}x(y)$.

Answer 2

Creo que mirando Total de "Diferenciación" en Google te guiará! Hasta donde yo sé, la ecuación df = fxdx+fydy+fzdz es válido y puede ser aproximadamente de interpretarse como:

1. el cambio en la función f (= df) es igual al producto de los siguientes:
2. fx veces dx, lo que significa que el cambio en el valor de x (= dx) veces el cambio en la función f "en la dirección de x" (= fx)
3. fy dy veces
4. fz veces dz

la interpretación del número tres y el número cuatro es similar a la número 2.

Esta interpretación hace sentido intuitivo! Por ejemplo, supongamos que tu peso depende de dos variables, la cantidad de helado y la cantidad de hamburguesas que usted come. A continuación, el cambio en su peso sería igual a la variación en la cantidad de helado reproducida por el cambio en su peso que una unidad de helado causado, más el cambio en la cantidad de hamburguesa veces el cambio en su peso que una unidad de hamburguesa causado.

Espero que esto ayudó!

(Y de nuevo no me conocen de este tema muy bien, así que si usted encuentra cualquier error por favor me corrija!)