Puntos de confusión sobre la fórmula de Taylor de segundo orden de Taylor ' s Teorema de muchas Variables

Question

Mi libro ha escrito lo siguiente para el segundo fin de Taylor de la fórmula de Taylor teorema de muchas variables:

$$f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) = f(\mathbf{x_0}) + \sum_{i = 1}^n h_i \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_i}}(\mathbf{x}_0) + \dfrac{1}{2} \sum_{i, j = 1}^n h_i h_j \dfrac{\partial^2 f}{\partial{x_i} \partial{x_j}} (\mathbf{x}_0) + R_2(\mathbf{x}_0, \mathbf{h}),$$

donde

$$R_2(\mathbf{x}_0, \mathbf{h}) = \sum_{i, j, k = 1}^n \int_0^1 \dfrac{(t - 1)^2}{2} \dfrac{\partial^3{f}}{\partial{x_i} \partial{x_j} \partial{x_k}} (\mathbf{x_0 + t \mathbf{h}})h_i h_j h_k \ dt.$$

El integrando es una función continua de $t$ y es por lo tanto acotada por una constante positiva $C$ en un pequeño barrio de $\mathbf{x}_0$ (porque tiene que estar cerca de su valor en $\mathbf{x}_0$). También tenga en cuenta que $|h_i| \le ||\mathbf{h}||$, $||\mathbf{h}||$ pequeños, y así

$$|R_2(\mathbf{x}_0, \mathbf{h})| \le ||\mathbf{h}||^3C$$

Tengo un número de puntos de confusión:

1. El integrando es una función continua de $t$ y es por lo tanto acotada por una constante positiva $C$ en un pequeño barrio de $\mathbf{x}_0$ (porque tiene que estar cerca de su valor en $\mathbf{x}_0$).

Por favor alguien puede explicar esto?

2. También tenga en cuenta que $|h_i| \le ||\mathbf{h}||$, $||\mathbf{h}||$ pequeñas, ...

¿Por qué es este el caso? Y por qué sólo para $||\mathbf{h}||$ pequeño?

3. $$|R_2(\mathbf{x}_0, \mathbf{h})| \le ||\mathbf{h}||^3C$$

Estoy tratando de averiguar de donde vino esto. En una página anterior, el libro de texto dice lo siguiente:

$$| R_k(x_0, h) | = \left| \int_{x_0}^{x_0 + h} \dfrac{(x_0 + h - \tau)^k}{k!} f^{k + 1}(\tau) \ d \tau \right| \le \dfrac{|h|^{k + 1}}{k!} M$$

Pero, si tenemos $||\mathbf{h}||^3C$, entonces, de acuerdo con la declaración anterior, necesitaríamos $k = 2$; pero el $2!$ factor de falta, de manera que parece que esta suposición sea correcta? Así que ¿de dónde vienen?

Me gustaría que la gente pudiera por favor tome el tiempo para aclarar estos puntos de confusión.

Answer 1

Desde $\dfrac{\partial^3{f}}{\partial{x_i} \partial{x_j} \partial{x_k}}$ es continua en el punto de $\mathbf{x}_0$, si se toman en $\varepsilon=1$, utilizando la definición de la continuidad usted puede encontrar a $\delta=\delta(\mathbf{x}_0,1)>0$ tales que $$\left\vert \dfrac{\partial^3{f}}{\partial{x_i} \partial{x_j} \partial{x_k}}(\mathbf{x})-\dfrac{\partial^3{f}}{\partial{x_i} \partial{x_j} \partial{x_k}}(\mathbf{x}_0)\right\vert\le 1$$ para todos los $\mathbf{x}$ en el dominio con $\Vert\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\Vert\le\delta$. Por lo tanto, por la desigualdad de triángulo de obtener $$\begin{align}\left\vert \dfrac{\partial^3{f}}{\partial{x_i} \partial{x_j} \partial{x_k}}(\mathbf{x})\right\vert&\le \left\vert\dfrac{\partial^3{f}}{\partial{x_i} \partial{x_j} \partial{x_k}}(\mathbf{x}_0)\right\vert\\&+\left\vert \dfrac{\partial^3{f}}{\partial{x_i} \partial{x_j} \partial{x_k}}(\mathbf{x})-\dfrac{\partial^3{f}}{\partial{x_i} \partial{x_j} \partial{x_k}}(\mathbf{x}_0)\right\vert\\&\le \left\vert\dfrac{\partial^3{f}}{\partial{x_i} \partial{x_j} \partial{x_k}}(\mathbf{x}_0)\right\vert+1:=M\end{align}$$ para todos los $\mathbf{x}$ en el dominio con $\Vert\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\Vert\le\delta$. En particular, si ahora tomamos $\mathbf{x}=\mathbf{x}_0+t\mathbf{h}$ con $\Vert\mathbf{h}\Vert\le\delta$ usted tiene que $$\left\vert \dfrac{\partial^3{f}}{\partial{x_i} \partial{x_j} \partial{x_k}}(\mathbf{x}_0+t\mathbf{h})\right\vert\le M$$ para todos los $t\in [0,1]$ y todos los $\Vert\mathbf{h}\Vert\le\delta$. Por lo tanto, la función dentro de la integral puede ser obligado en valor absoluto por $$\begin{align}\left\vert\dfrac{(t - 1)^2}{2} \dfrac{\partial^3{f}}{\partial{x_i} \partial{x_j} \partial{x_k}} (\mathbf{x_0 + t \mathbf{h}})h_i h_j h_k\right\vert\\\le \dfrac{(t - 1)^2}{2}\left\vert \dfrac{\partial^3{f}}{\partial{x_i} \partial{x_j} \partial{x_k}}(\mathbf{x}_0+t\mathbf{h})\right\vert\vert h_i h_j h_k\vert \le\frac12M\Vert\mathbf{h}\Vert^3.\end{align}$$ A su vez, $$\begin{align}\vert R_2(\mathbf{x}_0, \mathbf{h})\vert &\le \sum_{i, j, k = 1}^n \int_0^1 \left\vert\dfrac{(t - 1)^2}{2} \dfrac{\partial^3{f}}{\partial{x_i} \partial{x_j} \partial{x_k}} (\mathbf{x_0 + t \mathbf{h}})h_i h_j h_k\right\vert \ dt\\&\le \frac12M\Vert\mathbf{h}\Vert^3 \sum_{i, j, k = 1}^n \int_0^1 1\, dt=\frac12M\Vert\mathbf{h}\Vert^3 \sum_{i, j, k = 1}^n1 \end{align}$$ para todos los $\Vert\mathbf{h}\Vert\le\delta$. La desigualdad de $\vert h_i\vert\le \Vert\mathbf{h}\Vert$ es siempre cierto, ya que $$\Vert\mathbf{h}\Vert=\sqrt{\sum_{j=1}^nx_j^2}\ge \sqrt{x_i^2}=\vert x_i\vert.$$