Adecuada mapa inducida a partir de un mapa continuo

Question

Considere la siguiente afirmación.

Reclamo: Vamos a $X$ e $Y$ ser localmente espacios topológicos compactos, y $f : X \longrightarrow Y$ un mapa continuo. Supongamos que $W \subset X$ es relativamente compacto. A continuación, la inducida por el mapa (que se obtiene mediante la restricción de $f$) $$f : W \backslash f^{-1}(f(\partial W)) \longrightarrow Y \backslash f(\partial W)$$ is a proper map, i.e., the preimage of compact set in $Y \barra invertida f(\partial W)$ is a compact set in $W \ \ barra invertida f^{-1}(f(\partial W))$.

Prueba: Supongamos $K \subset Y \backslash f(\partial W)$ ser un conjunto compacto, tenemos que mostrar que $f^{-1}(K)$ es un conjunto compacto en $W \backslash f^{-1}(f(\partial W))$. Por la continuidad de $f$, la preimagen $f^{-1}(K)$ es cerrado, por lo que sólo necesitan demostrar que $f^{-1}(K)$ no intersecta el límite de $W \backslash f^{-1}(f(\partial W))$. Hay dos límites a la verificación de: (i) $f^{-1}(K) \cap \partial W = \emptyset$, y (ii) $f^{-1}(K) \cap f^{-1}(f(\partial W)) = \emptyset$. En efecto, desde el $K \cap f(\partial W) = \emptyset$, (ii) es inmediato a partir del hecho de que $$f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B),$$ where $a,B$ are some arbitrary sets. Let us therefore turn to (i). Proceeding by contradiction, suppose that $f^{-1}(K) \cap \parcial W \neq \emptyset$. Then there exist some $z \in f^{-1}(K) \cap \parcial W$, and so $$z \in f^{-1}(K) \cap \partial W \implies f(z) \in f(f^{-1}(K) \cap \partial W) \subset f(f^{-1}(K)) \cap f(\partial W) \subset K \cap f(\partial W) = \emptyset.$$

Preocupación: sólo tengo (al mejor de mi conocimiento) que se utiliza el hecho de que $K$ es un subconjunto cerrado. La prueba es o no correcta, o al menos no que ilustra la idea principal, ya que la compacidad de $K$ debería ser necesario.

Posibles Problemas: Un problema puede ser especificando exactamente lo que el límite de $W \backslash f^{-1}(f\partial W))$ es.

Answer 1

Deje $K \subset Y \backslash f(\partial W)$ ser un conjunto compacto, y deje $\{ \mathscr{U}_{\alpha} \}_{\alpha \in A}$ ser una cubierta abierta de a$f^{-1}(K)$. El conjunto $\mathscr{V} : = \overline{W} \backslash f^{-1}(K)$ es abierto, por lo $\{ \mathscr{U}_{\alpha} \}_{\alpha \in A} \cup \mathscr{V}$ es una cubierta abierta de a$\overline{W}$. Desde $\overline{W}$ es compacto, admite un número finito de sub-cubierta $\{ \mathscr{U}_{\alpha_1}, ..., \mathscr{U}_{\alpha_n}, \mathscr{V} \}$. Esto implica entonces que $\{ \mathscr{U}_{\alpha_1}, ..., \mathscr{U}_{\alpha_n} \}$ es una cubierta abierta de a$f^{-1}(K)$ que es finito, como lo exige.