Por qué la función delta es una base de distribución?

Question

Templado distribución $T\in \mathcal{S}'$ es una funcional lineal continua definida en el espacio de $\mathcal{S}$ de infinitamente diferenciable funciones de prueba de $f(x)$ a $\mathbf{R}$ finitos norma $$ ||f||_{r,s} = \sum_{k,|k|<r}\sum_{l,|l|<s} \mathop{\mathrm{sup}}_x \left|x^k f^{(l)}\right| < \infty, $$ para todos los $r,s$ ($f^{(l)}$ es el $l$-ésima derivada).

Un teorema de los estados, que todos templado de las distribuciones tienen la forma $$ T(f) = \sum_{0\leq|k|\leq s}\int F_k(x) f^{(k)}(x) dx, $$ con algunas funciones continuas $F_k$ enlazado como $$ |F_k(x)| \leq C_k(1+|x|^j), $$ con algunos $C_k$ e $j$ dependiendo $k$.

De acuerdo con el teorema de la función delta de distribución se define como $$ T_\delta(f) = \int \delta(x) f(x) dx = f(0), $$ no es una base de distribución ($\delta(x)$ no es una función continua, sin duda. Lo escribo aquí en la integral sólo por el bien de la tradicional notaciones). Pregunta, ¿por qué no es una base de distribución? Ingenuamente, es lineal, definido por una todas las funciones en $\mathcal{S}$, y parece ser continua?

Tenga en cuenta, que hubo un par de preguntas que le preguntó, por qué $T_\delta$ no es inducida por algunas buenas función de $F_k$ - esto es relativamente obvio. La pregunta es, ¿por qué $T_\delta$ no es una buena distribución en $\mathcal{S}'$. Por ejemplo, es una buena distribución, si un pequeño conjunto de funciones de prueba se utiliza, que es el conjunto $\mathcal{D}$ de funciones con finito de apoyo.

• Definiciones de $S$ e $S'$ se puede encontrar, por ejemplo, en el PCT, los giros y las Estadísticas, y Todos los Que por la R. F. Streater, A. S. Wightman
• El teorema se menciona en el mismo libro, y parece ser probado en L. Schwartz Théorie des distribuciones; o L. Gårding y J. Leones "Análisis Funcional" Nuovo Cimento Suppl., 14, 9 (1959).

(Pregunta del título editado después de la correcta respuesta llegó)

Answer 1

Delta de Dirac es una base de distribución. De hecho, para cada una de las $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$,

\begin{align*} \delta(f) = f(0) = -\int_{\mathbb{R}} \mathbf{1}_{(0,\infty)}(x) f'(x) \,dx = \int_{\mathbb{R}} \max\{0,x\} f''(x) \,dx. \end{align*}

Aquí $\mathbf{1}_{(0,\infty)}(x)$ es la función de indicador de $(0, \infty)$ y se aplicó la integración por parte en el último paso. Así, la delta de Dirac satisface el teorema con la función continua $F_2(x) = \max\{0,x\}$ la satisfacción de los obligados $|F_2(x)| \leq |x|$.

Como un comentario, este cálculo se dice simplemente que $\frac{d^2}{dx^2} \max\{0, x\} = \delta(x)$ en la distribución sentido. Esto es lo que @Blazej es que menciona en su comentario.