Demostrar que $\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)(n+2)\cdots(2n-1)2n}{n^n}=\infty$

Question

$$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)(n+2)\cdots(2n-1)2n}{n^n}=\infty$$ Vi que $$\frac{(n+1)(n+2)\cdots(2n-1)2n}{n^n}=\prod_{i=1}^n\left(1+\frac in\right)$$ Creo que puedo usar exprimir la ley, pero no estoy seguro. Me puedes dar una pista?

Answer 1

Considerar un subconjunto de los términos en el producto de la expansión. Puesto que todos los términos son positivos, el producto original es mayor que el subconjunto de la suma: $$\prod_{i=1}^n\left(1+\frac in\right)\ge1+\sum_{i=1}^n\frac in=1+\frac{n(n+1)}{2n}=1+\frac{n+1}2$$ Desde $\frac{n+1}2$ diverge, también lo hace el producto y el límite original.

Answer 2

Sugerencia. Tenga en cuenta que para $n\geq 2$, $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2(2n+1)}{(n+1)\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>\frac{2(2n+1)}{3(n+1)}\geq \frac{10}{9}.$$

Answer 3

Alternativamente, usando la aproximación de Stirling: $$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)(n+2)\cdots(2n-1)2n}{n^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n)!}{n!\cdot n^n}=\\ \lim_{n\to\infty}\frac{\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}\sqrt{4\pi n}}{\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\sqrt{2\pi n}\cdot n^n}=\lim_{n\to\infty} \sqrt{2}\cdot \left(\frac4e\right)^n=\infty.$$

Answer 4

$e^x\geq 1+x$ es por convexidad para cualquier $x\in\mathbb{R}$. Esto implica que para cualquier $x\in(-1,1)$ tenemos $e^{-x}\leq \frac{1}{1+x}$ y para cualquier $z\in(0,1)$ tenemos $1+z\geq e^{\frac{z}{1+z}}$. En particular $$ \prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{k}{n}\right) \geq \exp\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{n+k}=\exp\left(n-1-n\sum_{k=n+1}^{2n-1}\frac{1}{k}\right) $$ y $\sum_{k=n+1}^{2n-1}\frac{1}{k}=H_{2n-1}-H_n\leq \log(2)-\frac{2}{3n}$, por lo tanto

$$ \prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n}\right) \geq 2 \exp\left(n-n\log(2)-\frac{1}{3}\right)\color{red}{\geq \sqrt{2}\left(\frac{e}{2}\right)^n}. $$ Una similar obligado (con $\frac{e}{2}$ siendo reemplazado por $\frac{4}{e}$) pueden ser derivados por la aplicación de Stirling, el doble de la desigualdad $$ \left(\frac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n}\,e^{\frac{1}{12n+1}}\leq n!\leq\left(\frac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n}\,e^{\frac{1}{12n}} $$ desde $$ \prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n}\right) = \frac{(2n)!}{n^n n!}.$$