¿Es cierto que hay infinitos números cuadrados en la secuencia $ \left \lfloor n \sqrt {2} \right \rfloor $ con $n$ es un número entero? Si no, ¿cómo podemos probarlo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Interesante pregunta. Las secuencias de la batidora dar que cada número natural positivo es cualquiera de la forma $ \lfloor \sqrt {2}\,a \rfloor $ o de la forma $ \lfloor (2+ \sqrt {2})\,b \rfloor $ para algunos $a,b \in\mathbb {N}$ . Si asumimos que sólo un número finito de cuadrados pertenecen a la primera secuencia, tenemos que cada cuadrado lo suficientemente grande es de la forma $ \lfloor (2+ \sqrt {2})\,b \rfloor $ para algunos $b \in\mathbb {N}$ . Ahora podemos usar las propiedades generales de las fracciones continuas para derivar una contradicción. Tenemos que $$ \sqrt {2}=[1;2,2,2,2, \ldots ] $$ y si $ \left\ { \frac {p_k}{q_k} \right\ }$ es la secuencia de convergencias de dicha fracción continua, $$ q_k^2 \sqrt {2}-p_k q_k = \frac {(-1)^k}{2 \sqrt {2}}+o(1) $$ como $k \to + \infty $ . De la misma manera, $$ \frac {1}{2+ \sqrt {2}}=[0;3,2,2,2, \ldots ] $$ y si $ \left\ { \frac {p_k}{q_k} \right\ }$ es la secuencia de convergencias de dicha fracción continua, $$ \frac {q_k^2}{2+ \sqrt {2}}-p_k q_k = \frac {(-1)^k}{2 \sqrt {2}}+o(1) $$ como $k \to + \infty $ . Asumiendo que $q_k^2$ pertenece a la secuencia Beatty complementaria que obtenemos $$ b \leq \frac {q_k^2}{2+ \sqrt {2}} \leq b+ \frac {1}{2+ \sqrt {2}}, \qquad b \in\mathbb {N} $$ que contradice la declaración anterior si $k$ es grande y impar .
El mismo argumento funciona también cambiando los papeles de la secuencia original de Beatty y su secuencia complementaria. En particular tenemos que
Hay infinitos cuadrados de la forma $ \lfloor \sqrt {2}\,a \rfloor $ e infinitos cuadrados de la forma $ \lfloor \left (2+ \sqrt {2} \right )\,b \rfloor $ . Cada cuadrado que no sea cero está representado por una de esas formas.
Un enfoque más avanzado está demostrando que el conjunto $\{ \lfloor n \sqrt {2} \rfloor :n \geq 0\}$ contiene un conjunto de diferencias $S-S$ donde $S \subset\mathbb {N}$ tiene una densidad positiva. De hecho, por el Teorema de Furstenberg-Sárközy hay infinitos cuadrados en cualquier conjunto de diferencias de la forma anterior. Esta es la versión cuantitativa del hecho de que los cuadrados forman un El set de Heilbronn es decir, un barrio de cero en la topología de Bohr.
Los primeros cuadrados positivos de la forma $ \lfloor \sqrt {2}\,a \rfloor $ son $$1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 100, 121, 144, 169, 196, 289, 400.$$ Los primeros cuadrados positivos de la forma complementaria $ \lfloor \left (2+ \sqrt {2} \right )\,b \rfloor $ son $$64, 81, 225, 256, 324, 361, 484, 529.$$
