Encontrar el número de invertible elementos en $\mathbb{Z}[i]/(220+55i)\mathbb{Z}[i]$

Question

Yo era capaz de encontrar la factorización $220+55i=11*(2+i)*(2-i)*(4+i)$. También se conoce esta famosa pregunta

Cociente del anillo de los enteros de Gauss

Pero cómo se aplica en este caso? Estoy confundido, por favor ayuda.

Es la respuesta $$ (11^2-1)*(5-1)*(5-1)*(17-1) $$ la correcta? Por qué?

Answer 1

Como he mencionado en los comentarios, ya que los ideales generados por los elementos de la factorización se comaximal, entonces \begin{align*} \frac{\mathbb{Z}[i]}{(220+55i)} = \frac{\mathbb{Z}[i]}{(11)(2+i)(2-i)(4+i)} \cong \frac{\mathbb{Z}[i]}{(11)} \times \frac{\mathbb{Z}[i]}{(2+i)} \times \frac{\mathbb{Z}[i]}{(2-i)} \times \frac{\mathbb{Z}[i]}{(4+i)} \end{align*} por el Teorema del Resto Chino. Ahora $$ \frac{\mathbb{Z}[i]}{(11)} \cong \frac{\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)}{(11, x^2+1)/(x^2+1)} \cong \frac{\mathbb{Z}[x]}{(11, x^2 + 1)} \cong \frac{\mathbb{F}_{11}[x]}{(x^2+1)} \cong \mathbb{F}_{11^2} $$ por el Tercer Teorema de Isomorfismo, y debido a $x^2+1$ es irreducible sobre $\mathbb{F}_{11}$. ($\mathbb{F}_q$ denota el campo finito con $q$ elementos.) Por lo tanto por el resultado en tu post vinculado tenemos $$ \frac{\mathbb{Z}[i]}{(220+55i)} \cong \mathbb{F}_{11^2} \times \mathbb{F}_5 \times \mathbb{F}_5 \times \mathbb{F}_{17} \, . $$ Por lo tanto un elemento de ${\mathbb{Z}[i]}/{(220+55i)}$ es una unidad iff su imagen en cada uno de los factores de $\mathbb{F}_{11^2} \times \mathbb{F}_5 \times \mathbb{F}_5 \times \mathbb{F}_{17}$ es una unidad. Ya que cada elemento de a$\mathbb{F}_q$ es una unidad, excepto para $0$, la respuesta que has dado de la siguiente manera.