Es mi solución particular de $ {(3xy + y^2)}\ dx + {(x^2 + xy)}\ dy = 0 $ $x=1$ $y=1$ correcto?

Question

Encontrar la solución particular a $$ {(3xy + y^2)}\ dx + {(x^2 + xy)}\ dy = 0 $$ para $x=1$ e $y=1$.

Mi Solución $$ \frac{dy}{dx}=-\frac{3xy+y^2}{x^2+xy} $$

Sustituyendo $y=vx$ , $\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}$

$$ v+x\frac{dv}{dx}=-\frac{3vx^2+x^2v^2}{x^2+vx^2} $$

$$ v+s\frac{dv}{dx}=-\frac{3 v a+v^2}{1+v} $$

$$ x\frac{dv}{dx}=-\frac{2v^2+4v}{v+1} $$

$$ \frac{v+1}{2^2+4v}=-\frac{dx}{x} $$

$$ \frac{(2v+2)}{v^2+2v}=-4\frac{dx}{x} $$ $$ \int\frac{(2v+2)}{v^2+2v}=-4\int\frac{dx}{x} $$

$$ \log |v^2+2v| = -4\log|x|+\log C $$

$$ \log |v^2+2v| = \log\frac{C}{x^4} $$

$$ |v^2+2v|=\frac{C}{x^4} $$

$$ |y^2+2xy|=\frac{C}{x^2} $$

Sustituyendo $x=1$ e $y=1$, $C=3$

La respuesta es $$ |{(y^2 + 2xy)}|= \frac{3}{x^2} $$

La respuesta en el libro está a la izquierda hasta aquí solo,pero lo hice después de que este fue de la siguiente manera

$$ (y^2 + 2x y) = \pm\frac{3}{x^2} $$

Y, a continuación, rechazando $$ (y^2 + 2x y) = -\frac{3}{x^2} $$

Como no satisfacer $x=1$, $y=1$

Así que Según yo, la solución particular es $$ (y^2 + 2x y) = \frac{3}{x^2} $$

Cuya respuesta es correcta mi o del libro?

Answer 1

Ni usted ni el libro es correcto. Ambos son parcialmente correctas, pero no es correcto del todo. El paso en falso es la creencia de que $$\int\,\frac{1}{t}\,\text{d}t=\ln|t|+\text{constant}\,.$$
Desde $t=0$ no está en el dominio de la función $t\mapsto\dfrac1t$, lo que es correcto es decir que $$\int\,\frac1t\,\text{d}t=\ln|t|+c(t)\,,$$ donde $c:(-\infty,0)\cup(0,\infty)\to\mathbb{C}$ es localmente constante de la función. Que es, para algunas constantes $c_-$ e $c_+$ , que no son necesariamente de la misma, nos han $$c(t)=\begin{cases}c_-&\text{if }t<0\,,\\c_+&\text{if }t>0\,.\end{cases}$$

Por lo tanto, lo que es seguro decir es que $$|v^2+2v|=\frac{\tilde{\Gamma}(x,v)}{x^4}$$ para algunas localmente constante de la función de $\tilde{\Gamma}$ en dos variables con dominio de $\Omega:=\big(\mathbb{R}\setminus\{0\} \big)\times \big(\mathbb{R}\setminus\{-2,0\}\big)$. Usted puede eliminar el valor absoluto y decir $$v^2+2v=\frac{\Gamma(x,v)}{x^4}$$ para algunas localmente constante $\Gamma:\Omega\to\mathbb{C}$.

A partir de la condición inicial $(x,y)=(1,1)$ (donde $(x,v)=1$) que están tratando con el componente conectado a$(0,\infty)\times (0,\infty)$ de $\Omega$. Usted puede tomar $\Gamma(x,v)$ a ser una constante a lo $C$ , que se enteró de que $C=3$. Es decir, $$y^2+2xy=x^2(v^2+2v)=\frac{C}{x^2}=\frac{3}{x^2}\text{ for }x>0\,.$$
Sin embargo, usted puede saltar la frontera y deducir que $y^2+2xy=\dfrac{3}{x^2}$ para $x<0$ .