Puntos de continuidad en $ M_n (k) $ de polinomios mínimos

Question

El objetivo es demostrar que $\Gamma $ el conjunto de puntos de continuidad de $ M \mapsto \pi_M $ es $ \{ M \in M_n(k) , \chi_M = \pi_M \} $ . En el sitio web $ \pi_M $ es el polinomio mínimo de $M$ y $ \chi_M $ es el polinomio característico de $M$ .

Con el campo siendo $ k = \mathbb{R} , \mathbb{C} $ para poder hablar de topología.

$ \bullet $ Primero sabemos que $ M \mapsto \chi_M $ es continua porque las identidades de Newton expresan los coeficientes de $ \chi_M $ como funciones polinómicas de $tr(A^k) $ para $ k \leq n $ y eso es una forma multilineal de dimensión finita.

$ \bullet $ Entonces vemos que $ M \mapsto \pi_M $ no es continua porque existe una secuencia $ (A_p)_p \subset M_n(k) $ que converge a A pero $ \pi_{A_p} $ no converge a $ \pi_A $ .

$ \bullet $ Así que una de las dos inclusiones es directa. Ahora tenemos que demostrar que :

$$ \Gamma \subset \{ M \in M_n(k) , \chi_M = \pi_M \} $$

La indicación es mostrar que este último conjunto en un conjunto abierto de $ M_n(k) $ ....

Gracias de antemano por cualquier ayuda

Answer 1

Trabajamos sobre $\mathbb{C}$ . Dejemos que $A\in M_n$ .

Si $\chi_A\not= \pi_A$ entonces $A$ tiene un valor propio múltiple y $\pi_A$ es un divisor propio de $\chi_A$ . Hay una secuencia $(A_i)_i$ de matrices con valores propios distintos que convergen a $A$ . Entonces $\chi_{A_i}=\pi_{A_i}$ tiende a $\chi_A(\not= \pi_A)$ y nuestra función no es continua en $A$ .

Si $\chi_A=\pi_A$ entonces $A$ admite un "vector cíclico" $u\in\mathbb{C}^n$ s.t. $u,Au,\cdots,A^{n-1}u$ es una base de $\mathbb{C}^n$ Es decir, $\det(u,Au,\cdots,A^{n-1}u)\not= 0$ . Dejemos que $(A_i)_i$ sea una secuencia que converge a $A$ . Entonces, para $i$ suficientemente grande, por la continuidad de $\det$ , $\det(u,A_iu,\cdots,A_i^{n-1}u)\not= 0$ por lo tanto $\chi_{A_i}=\pi_{A_i}$ (porque $A_i$ admite $u$ como "vector cíclico"; nótese que es una equivalencia) tiende a $\chi_A(=\pi_A)$ y nuestra función es continua en $A$ .